Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

I. Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)

где - постоянные величины.

Система функций называется линейно независимой на интервале , если равенство , где , выполняется тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. В противном случае она является линейно зависимой.

Совокупность любых линейно независимых на интервале частных решений уравнения (1) определяет фундаментальную систему решений этого уравнения.

Теорема. Если частных решений , уравнения (1) образуют на интервале фундаментальную систему решений, то общим решением этого уравнения является функция , где - произвольные постоянные.

Частные решения уравнения (1) можно искать в виде , где постоянные величины являются корнями характеристического уравнения

. (2)

При составлении фундаментальной системы решений уравнения (1) следует руководствоваться правилами:

1) каждому однократному действительному корню характеристического уравнения (2) соответствует фундаментальное решение ;

2) каждому действительному корню кратности соответствуют фундаментальных решений ;

3) каждой паре комплексно сопряженных однократных корней и соответствуют два фундаментальных решения и ;

4) каждой паре комплексно сопряженных корней , кратности соответствуют фундаментальных решений

,

.

II. Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (3)

где - постоянные величины, - непрерывная функция.

Теорема. Если - общее решение однородного уравнения (1), а - частное решение неоднородного уравнения (3), то функция - общее решение уравнения (3).

В некоторых специальных случаях есть некоторые правила поиска частного решения (метод неопределенных коэффициентов).

Случай 1. , где - многочлен степени .

А. Если не является корнем характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в вид , где - многочлен n-ой степени с произвольными коэффициентами.

Б. Если - корень уравнения (2) кратности , то частное решение ищут в виде .

Случай 2. .

А. Если числа не являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в виде

,

где и - произвольные постоянные.

Б. Если числа являются корнями характеристического уравнения (2) кратности , то частное решение ищут в виде

.

Замечание. В случаях или частное решение по-прежнему следует искать в указанном полном виде.

Случай 3. , где и - многочлены степени m и n, соответственно.

А. Если не являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в виде

,

где и - многочлены с произвольными коэффициентами степени .

Б. Если являются корнями характеристического уравнения (2) кратности , то частное решение ищут в виде

.

Для нахождения частного решения уравнения (3) в общем случае можно воспользоваться методом вариации постоянных (методом Лагранжа).

Рассмотрим общее решение однородного уравнения

.

Частное решение неоднородного уравнения (3) ищется в виде

,

где , , … - дифференцируемые функции, которые находятся путем решения системы дифференциальных уравнений

Эта система имеет единственное решение для функций , , … , поскольку в силу линейной независимости фундаментальных решений

вронскиан

не равен нулю.

Замечание. Пусть мы имеем уравнение , где . Если функции и являются решениями соответственно уравнений и , то функция - решение уравнения .