метод составления характеристического уравнения
Этот метод применим к нахождению решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида (5) Будем искать частное решение системы (5) в виде , где - постоянные, подлежащие нахождению при решении системы уравнений. Подставив указанные выше функции в систему (5) и сократив на функцию , получим (6) Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда . (7) Уравнение (7) называется характеристическим уравнением системы (5). Для каждого корня этого характеристического уравнения находим свой набор коэффициентов , определяющий фундаментальное решение системы (5). После нахождения всех фундаментальных решений, можно построить общее решение рассматриваемой системы.
Преобразование Лапласа и его основные свойства, поиск изображения по оригиналу и оригинала по изображению, решение дифференциальных уравнений и их систем операционным методом. I.Определения. Преобразованием Лапласа называется интегральное преобразование вида , где - комплексное число ( ), - функция, удовлетворяющая условиям: 1) при ; 2) - кусочно-непрерывная при ; 3) существуют такие числа и , что для всех выполняется неравенство (число называется показателем роста функции ). Функция называется оригиналом, а функция - изображением оригинала . Соответствие между оригиналом и изображением записывают в виде или . Теорема (о существовании изображения). Для всякого оригинала изображение существует в полуплоскости , причем функция является аналитической в этой полуплоскости. Теорема (о единственности оригинала). Если функция является изображением двух оригиналов и , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны. II.Свойства преобразования Лапласа. 1. Линейность. Если и , то . 2. Смещение (затухание). Если , то , где - постоянная величина. 3. Изменение масштаба (подобие). Если , то , где - положительное число. 4. Запаздывание. Если , то , где - положительная величина. 5. Дифференцирование изображения. Если , то . 6. Дифференцирование оригинала. Если , то . 7. Интегрирование изображения. Если и интеграл сходится, то . 8. Интегрирование оригинала. Если , то . 9. Умножение изображений. Если и , то . Интеграл называется сверткой функций и , обозначаемой символом . Свертка обладает свойством коммутативности: . 10. Умножение оригиналов. Если и , то , где путь интегрирования – вертикальная прямая . III. Таблица основных оригиналов и изображений
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (393)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |