Немного о потере решений в дифференциальных уравнениях
В однородных уравнениях решение может потеряться в результате типовой замены и дальнейших сокращений, однако, на практике распространена и другая причина потери решений – это неосмотрительное деление. На самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях. В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Аналогичная история с уравнением Примера 3 того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, следовало предварительно проверить, а не является ли решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при нулевом значении константы. В действительности, конечно же, вовсе «не обошлось» – ситуация была под контролем, но я намеренно умолчал об этих нюансах на 1-ом уроке, чтобы не перегружать «чайников» информацией. При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Чаще всего, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на нужно проверить, являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль. Перечисленные тонкости также теряют актуальность, если в задаче требуется найти только частное решение (см., например, Пример №2 первого урока). Следующий диффур – самостоятельно: Пример 6 Решить дифференциальное уравнение Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте для тренировки и здесь выразить общее решение. В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме: Пример 7 Решить дифференциальное уравнение Решение: «любимая функция» не является решением, что убавляет хлопот. Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену: После замены проводим максимальные упрощения: Разделяем переменные: Интегрируем: Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Как я уже отмечал, в диффурах удобнее использовать второй метод (если, конечно, многочлен можно разложить на множители) Здесь многочлен на множители раскладывается: можно решить квадратное уравнение , найти его корни и в результате: . Опытные студенты способны выполнить подбор корней и устно. Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей: Таким образом: Получившийся общий интеграл упрощаем: И только после упрощений выполняем обратную замену: Ответ: общий интеграл: Пример 8 Решить дифференциальное уравнение Это пример для самостоятельного решения. Отмечу, что время от времени однородное уравнение встречается в виде дроби, и типичный пациент выглядит примерно так: Наверное, многие обратили внимание, что во всех приведенных примерах мы не находили частные решения уравнений (задача Коши). Это не случайно. В практических заданиях Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, иначе к большинству читателей во сне явится И, для полноты картины, рекомендую изучить статью Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Успешного продвижения! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Проверим уравнение на однородность: Примечание: Решение входит в общее решение (когда ), поэтому его не нужно дополнительно указывать в ответе. Проверка: Дифференцируем общий интеграл: Пример 4: Решение: Проверим уравнение на однородность: Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение: Очевидно, что является решением. Примечание: также здесь можно выразить и общее решение: , для этого сразу после интегрирования константу следует загнать под логарифм. Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену: Ответ: общий интеграл: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать. Начнем с систематизации и повторения. На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любое дифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши. Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка. Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид: Что мы видим? Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака. Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения. – Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид: – Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или . – Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение. Поехали. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (4115)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |