Рассмотрим алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах
Итак, требуется решить дифференциальное уравнение: Действие первое. Пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. Дело в том, что когда вам предложен для решения произвольный диффур, то вы ещё не знаете о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И данный факт крайне желательно доказать в самом начале решения. Докажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Как это сделать? Уравнение в полных дифференциалах имеет вид . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка: . Вот его и надо проверить: , значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. На чистовике проверка проводится немного не так. Мы не имеем права использовать букву , так как изначально не знаем, является ли данное уравнение полным дифференциалом некоторой функции . А вдруг не является? Тогда вышеприведенные записи с буквой будут некорректны с математической точки зрения. Поэтому обычно используют нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама проверка на чистовике выглядит примерно так: “ Вот только теперь, после доказательства, мы можем использовать букву «эф», поскольку показано, что дифференциальное уравнение является полным дифференциалом некоторой функции и имеет вид: Ну, а коль скоро уравнение имеет вид , то: Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл . Существуют два зеркальных способа решения. В статье я остановлюсь на более привычном способе решения, но в конце рассмотрю и второй зеркальный вариант, он не менее важен. Действие второе. Работаем с верхней производной . Нижнюю производную пока запишем на листочек и спрячем в карман. Если дана частная производная , то нужная нам функция восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования: Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Как видите, принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных. В итоге: Здесь – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек». Правильно ли вычислен интеграл? В этом легко убедиться, если выполнить проверку, т.е. найти частную производную: Надеюсь всем, понятно, почему . Функция зависит только от «игрек», а, значит, является константой. Действие третье. Функцию мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись – совершенно законна. Действие четвертое. Приравниваем: Находим функцию , для этого необходимо взять интеграл от правой части: Заключительный аккорд: Подставим найденную функцию в «недоделанный» результат : Ответ: общий интеграл: Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные первого порядка и составляем полный дифференциал, в результате должно получиться исходное дифференциальное уравнение. Второй способ проверки состоит в том, чтобы найти производную от функции, заданной неявно: Пример 2 Решить дифференциальное уравнение Решение: 2) Запишем частные производные: Если , то: Напоминаю, что, когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой и выносится за знак интеграла. 3) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта и дифференцируем его по «игрек»: 4) Переписываем найденный результат: Приравниваем и сокращаем: Примечание: На практике решение обычно записывают значительно короче, объединяя пункты №№3,4: Восстанавливаем функцию интегрированием по «игрек»: В «недоделанный» результат пункта №2 подставляем найденную функцию . Ответ: общий интеграл: Ответ можно записать и в стандартном виде , но здесь возникает любопытная особенность, о которой я рассказывал на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка. Если мы переносим константу в правую часть, то, строго говоря, у неё необходимо сменить знак: . Константу (поскольку она может принимать любые значения) желательно переобозначить некоторой другой константой и записать общий интеграл в виде . Если же записать ответ в виде , то формально это будет ошибкой, а неформально – нет. Чтобы избежать лишних телодвижений с переобозначением константы или небрежности в оформлении, лично я предпочитаю оставлять ответ в виде Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка: Составим дифференциальное уравнение : Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно. Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Это пример для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока я записал максимально коротко без пунктов, то есть приблизил его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике. Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим еще пару примеров. Пример 4 Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Решение: Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах: , значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид: Запишем частные производные первого порядка: Если , то: Находим частную производную по «игрек»: Из последнего равенства после сокращения следует, что , это простейший случай: Подставляем найденную функцию в «недоделанный» результат Ответ: общий интеграл: Пример 5 Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Это пример для самостоятельного решения, заодно проверите свои навыки в нахождении частных производных. Полное решение и ответ в конце урока. А сейчас я рассмотрю обещанный зеркальный метод решения. Обязательно с ним ознакомьтесь, пригодится не только в диффурах, но и некоторых других задачах матана. Пример 6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Решение: , значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид: – про эту производную пока забываем. Отличие состоит в том, что пляска начинается от другой производной. Может показаться, что второй способ «рассматривать не обязательно», но время от времени выручает именно он. Когда? Когда вы пытаетесь стандартно начать решение с верхней производной , но в результате получается очень трудный интеграл. В такой ситуации всегда следует попробовать начать решение с нижней производной , вполне возможно, что интеграл получится значительно проще. Итак, если , то: Теперь находим частную производную по «икс»: Вспоминаем о «забытой» производной: Приравниваем результаты и проводим сокращения: Функцию восстанавливаем интегрированием: Найденную функцию подставляем в недостроенный общий интеграл Ответ: общий интеграл: Вторым способом можно было решить все примеры, которые мы рассмотрели до этого. Оба способа решения абсолютно равноценны, используйте тот, который вам удобнее. Пример 7 Решить дифференциальное уравнение Это пример для самостоятельного решения. Решение в образце проведено вторым способом. Заканчиваю печатать эту статью и обращаю внимание на то, что она получилась неожиданно большой. Когда материалы по диффурам в полных дифференциалах были только в моих планах, думал, урок получится меньше по объему раза в два. Что делать, присутствует новый материал – частное интегрирование. А новый материал в две строчки не уместишь. Существуют еще так называемые уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Они решаются методом интегрирующего множителя. В моей практике такие уравнения встречались, но всего 2-3 раза, и я не счел целесообразным включать их в методические материалы. Если возникнет необходимость рассмотреть метод интегрирующего множителя, пожалуйста, обратитесь к специализированной литературе по диффурам, в частности, можно воспользоваться решебником Обыкновенные дифференциальные уравнения, авторы – М.Л. Киселёв, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. Разберётесь легко, поскольку такое уравнение могут предложить только по причине хорошей успеваемости =) Надеюсь, объяснения были достаточно подробны и понятны. Полного вам дифференциала! Решения и ответы: Пример 3: Решение: Пример 5: Решение: Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным дифференциалах: Пример 7: Решение: Ответ: общий интеграл:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (611)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |