Как решить линейное уравнение?
Существуют два способа решения. Первый способ – это так называемый метод вариации произвольной постоянной, если вас интересует именно он, пожалуйста, перейдите по ссылке. Второй способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться метод подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер. Рекомендую начинающим. В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой: , где и – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс». Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения: Подставляем и в наше уравнение : В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия. После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно: Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: . Если , тогда из нашего уравнения получаем: или просто . Уравнения записываем в систему: Именно в таком порядке. Система опять же решается стандартно. Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев. Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем. Далее подставляем найденную функцию во второе уравнение системы : Да тут ништяк, экспоненты сокращаются, и получается диффур, даже не простейший, а для студенток муз-педа. Из второго уравнения находим функцию . Ха. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: . Записываем общее решение: В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса: Ответ: общее решение Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка. Берём полученный ответ и находим производную: Подставим и в исходное уравнение : Пример 2 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид линейного уравнения. Проведем замену: и подставим и в исходное уравнение : После подстановки проведем вынесение множителя за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли: Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы: В результате: Из первого уравнения найдем функцию : Обе функции найдены: Ответ: общее решение: Желающие могут выполнить проверку, для проверки в ответе лучше предварительно раскрыть скобки. Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Если у вас возникли (или возникнут) проблемы технического характера, пожалуйста, вернитесь к первому уроку Дифференциальные уравнения первого порядка. Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла. Рассмотрим что-нибудь с дробями Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик. Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде : Данное ДУ является линейным, проведем замену: Составим и решим систему: Из первого уравнения найдем : Обе функции найдены, таким образом, общее решение: На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка. В данном случае: Ответ: частное решение: А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие ? Теперь берём полученный ответ и находим производную. Используем правило дифференцирования частного: Подставим и в исходное уравнение : Пример 5 Найти решение задачи Коши Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Перейдем к рассмотрению «частных видов» линейных уравнений, о которых шла речь в начале урока. Пример 6 Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения Решение:В данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду : Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным. Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале. Проведем замену: Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно: Вот теперь проводим вынесение множителя скобки: Составим и решим систему: Из первого уравнения найдем : Таким образом, общее решение: Ответ: частное решение: Пример 7 Найти частное решение ДУ Это пример для самостоятельного решения. Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции (в то время как с нахождением функции обычно проблем не возникает). Рассмотрим пару примеров с такими интегралами. Пример 8 Найти общее решение ДУ Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду : Уравнение кажется простым, но, как я уже отмечал, впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным, а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы. Проведем замену: Из первого уравнения найдем : Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям: . Но, вот незадача, буквы и у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы, я привык записывать правило с «а» и «бэ»: Интегрируем по частям: Если возникли трудности или недопонимание, освежите знания на уроках Метод замены переменной и Интегрирование по частям. Таким образом: Ответ: общее решение: Давненько я не вспоминал интегрирование по частям, даже ностальгия появилась. А поэтому еще один пример для самостоятельного решения. Какой пример? Конечно же, с логарифмом! Ну а чего еще от меня можно было ожидать? =) Пример 9 Найти общее решение дифференциального уравнения В предложенном примере проявлена небольшая вольность для любознательных фанатов матана. Нет, алгоритм остался точно таким же, просто я сразу начал решать диффур, не перенеся предварительно в правую часть. Полное решение и ответ в конце урока. В моей коллекции есть уравнения и с более трудными интегралами, но сейчас речь идет о дифференциальных уравнениях. В этой связи я намеренно не включил в урок такие задачи, все-таки интегралы изучаются в другой теме. Надеюсь, мои примеры и объяснения были полезны, до скорых встреч! Решения и ответы: Пример 3: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену: Пример 5: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена: Пример 7: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена: Пример 9: Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену: Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Помимо дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных уравнений и линейных неоднородных уравнений первого порядка, в практических задачах время от времени встречаются так называемые уравнения в полных дифференциалах. Да, конечно, ДУ в полных дифференциалах не такой частый гость в контрольных заданиях. Но освоить этот вид уравнений крайне важно, так как приёмы решения, о которых пойдет речь на данном уроке, потребуются при вычислении двойных, тройных, криволинейных интегралов, а также в ряде задач комплексного анализа. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах – вещь довольно простая, вы даже удивитесь, насколько прозрачен и доступен алгоритм решения. Что необходимо знать, для того чтобы разобраться в этих диффурах? Во-первых, нужно ориентироваться в базовых понятиях темы, ответьте прямо сейчас на несколько простейших вопросов: – Что такое дифференциальное уравнение? В том случае, если возникло малейшее недопонимание терминов, или вы недавно столкнулись с диффурами и являетесь чайником, пожалуйста, начните с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Согласитесь, плохо быть в неважной форме. Во-вторых, необходимо уверенно находить частные производные. Всё будет крутиться вокруг них. Счастливые студенты, которые избежали плотного знакомства с частными производными на первом курсе, будут вынуждены добавить их в свои друзья, поскольку без навыков нахождения частных производных читать дальше просто нет смысла. С любимых незабываемых частных производных и начнём. Рассмотрим функцию двух переменных: Требуется найти частные производные первого порядка , и составить полный дифференциал . В контексте данного урока я поменяю букву «зет» на букву «эф»: Дана функция двух переменных . Требуется найти частные производные первого порядка , и составить полный дифференциал . Зачем потребовалась смена буквы? Традиционно сложилось, что в рассматриваемой теме в ходу буква . Кроме того, частные производные первого порядка будем чаще обозначать значками . Как мы помним из вводного урока про дифференциальные уравнения первого порядка, в диффурах «не в почёте» обозначать производную штрихом. Решаем нашу короткую задачку. Найдем частные производные первого порядка: Полный дифференциал составим по формуле: В данном случае: Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Не ожидали? =) Но самое забавное, что уже известен ответ: , точнее, надо еще добавить константу: Таким образом, дифференциальное уравнение является полным дифференциалом функции . Отсюда и название разновидности ДУ – уравнения в полных дифференциалах. Как решить диффур в полных дифференциалах? Очевидно, что нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы восстановить исходную функцию (общий интеграл). Не так давно я что-то там дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование. То есть, речь пойдет о частном интегрировании, которое часто используется и в других задачах, упомянутых в начале урока.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (963)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |