Вывод: Уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка
Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли: Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка: Проведем замену: Составим и решим систему: Из первого уравнения найдем : Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать. Данный интеграл берётся по частям: Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала. Таким образом: Но это ещё не всё, выполняем обратную замену: В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли: Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию : Ответ: частное решение: Для мастодонтов дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения: 1) проверяем, выполнено ли начальное условие; Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку. Когда я подбирал первый пример для этой статьи, то очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное. Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения: Пример 2 Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию Пример 3 Найти решение задачи Коши Полные решения и ответы в конце урока. В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: . Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например: Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого Интереснейшая задача и новая информация, о которой я до сих пор не рассказывал: Пример 4 Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию Корни, куда же без них. Решение: Пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли. По условию требуется решить только задачу Коши, поэтому ось абсцисс снова идёт лесом. Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на : Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: Таким образом: Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену: Из первого уравнения найдем : Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: …вот тебе и раз. Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения , каждое из которых удовлетворяет начальному условию . Желающие могут выполнить проверку для обеих функций. Однако зададимся вопросом, а могло ли такое получиться в принципе? Может быть где-нибудь допущена ошибка? Скорее всего, у многих читателей ещё с 1-го урока сложился стереотип, что частное решение всегда единственно. Это далеко не так. В теории математического анализа строго доказано, что задача Коши имеет единственное решение лишь при выполнении определённых условий (соответствующая теорема формулируется в первых параграфах любого учебника/раздела, посвященного диффурам). В данном случае условие единственности нарушено, и в точке пересекаются (именно пересекаются, а не касаются друг друга!) графики многочленов . Ответ:начальному условию соотвествуют два частных решения: А сейчас небольшой оффтопик. Надеюсь, вы хорошо изучили раздел «Функции и графики» и представляете, как выглядит типичный график многочлена 4-ой степени. Семейство кривых (общее решение ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, множество графиков (при всех действительных значениях константы) своими точками касания порождает решение , которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло. Такое необычное решение называют особым решениемдифференциального уравнения. Потёрто. Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на 5-ти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики. …Пожалуй, этой информации будет достаточно, а то мне в голову стал приходить крайне неэтичный юмор в духе «Якоб, Иоганн – какая студенту разница?» =) …Побродил немного по комнате, посмеялся, продолжаю: Пример 5 Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка. Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока. Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе. Пример 6 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Очевидно, что является решением этого уравнение. И только после этой оговорки делим обе части на : Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену: В результате: Получено линейное уравнение, проведем замену: Решим систему: Из первого уравнения найдем : Проведём обратную замену: если изначально , то обратно: В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде: Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно). Ответ: общий интеграл: . Ещё одно решение: Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью. Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения Это пример для самостоятельного решения. Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом. Удачной вам сессии! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение. Пример 3: Решение: Пример 5: Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Пример 7: Решение: Ответ: частное решение:
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (704)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |