Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни
Для понимания третьего случая требуются элементарные знания про комплексные числа. Если материал позабылся, прочитайте урок Комплексные числа для чайников, в частности, параграф Извлечение корней из комплексных чисел. Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается: Пример 5 Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Ответ: общее решение: Пример 6 Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка Полное решение и ответ в конце урока. Иногда в заданиях требуется найти частное решение однородного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется один пункт. Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант , чтобы выполнялись ОБА условия. Алгоритм нахождения частного решения следующий: Сначала используем начальное условие : Далее берём наше общее решение и находим производную: Составим и решим систему из двух найденных уравнений: Допустимо использовать «школьный» метод решения, но в высшей математике чаще применяют метод почленного сложения/вычитания уравнений системы, посетите соответствующий урок, если не знакомы с методом. В составленной системе удобно разделить второе уравнение на 2 и почленно сложить уравнения: Всё, что осталось сделать – подставить найденные значения констант в общее решение : Ответ: частное решение: Проверка осуществляется по следующей схеме: Находим первую производную от ответа: Находим вторую производную: Подставим и в левую часть исходного дифференциального уравнения : Такие образом, частное решение найдено верно. Пример 8 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , . Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Если возникли затруднения с нахождение корней характеристического уравнения, прочитайте параграф Извлечение корней из комплексных чисел урока Комплексные числа для чайников. Если не помните значения тригонометрических функций, используйте Тригонометрические таблицы. Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение. Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: . В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так: С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие тоже никаких проблем, общее решение: То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня. В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (786)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |