Закон распределения случайной точки непрерывного типа на плоскости
В непрерывном случае совместное распределение случайных величин x1, x2 не может быть задано (как и в случае одной непрерывной случайной величины x) таблицей, так как в этом случае вероятности отдельных реализаций случайной точки (x1, x2) равны нулю.
Функция распределения случайной точки (x1, x2) определяется равенством Плотность вероятности случайной точки (x1, x2) определяется равенством
Другими словами, плотность вероятности случайной точки (x1, x2) в точке (х,у) есть предел отношения вероятности попадания в заштрихованный прямоугольник (рис.22) к площади этого прямоугольника при условии, что прямоугольник стягивается к точке (х,у). Нестрого говоря, плотность вероятности случайной точки – вероятность попадания на участок с площадью единица. Перечислим без доказательства основные свойства плотности вероятности f(х,у) (первые 4 из них аналогичны свойствам плотности вероятности f(х) одной непрерывной случайной величины, 5-е и 6-е указывают связь закона распределения случайной точки (x1, x2) с законами распределения ее координат). 10. f (x, y) ≥ 0; 20. Вероятность попадания случайной точки в любую область D на плоскости дается формулой P ((x1, x2) Î D) = . 30. Объем фигуры, заключенной между плоскостью хОу и графиком плотности (рис.23), равен единице: V = 1. 40. . 50. Законы распределения координат случайной точки (x1,x2) восстанавливаются по совместному закону распределения по формулам , (20) 60. Совместный закон распределения восстанав-ливается по законам распределения координат только в случае, когда x1, x2 независимы. В этом случае верна формула (21) Последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости x1, x2. Отметим, что функция распределения F(х,у) имеет смысл и в дискретном случае. В непрерывном случае при изучении совместных свойств случайных величин, как правило, удобнее пользоваться плотностью вероятности f(х,у). Пример. Случайная точка (x1, x2) равномерно распределена в треугольнике со сторонами: х = 0, y = 0, x + y = 3. Найти: совместную плотность f(x,y), плотности вероятности f1(x), f2(y) случайных величин x1, x2. Проверить зависимы x1 и x2 или нет. Решение. Так как случайная точка (x1, x2) равномерно распределена в треугольнике AOB (рис. 24), то f (x, y) = const для точек из DАОВ. Тогда, используя свойство 30, имеем Sосн · h = 1, следовательно · h = 1, откуда h = и . Если х Ï [0, 3], то f (x, y)=0 (рис.25) и, следовательно, f1 (x) = 0. Если хÎ [0,3], то f (x, y) = , откуда .
Окончательно,
аналогично, Так как f1(x) · f2 (y) ¹ const, то равенство (21) не выполняется, следовательно x1, x2 статистически зависимы.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (895)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |