Достаточное условие экстремума

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума . Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума .
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

если при и при , то - точка максимума;

если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Касательная плоскости к поверхности

Пусть имеется поверхность , заданная уравнением . Плоскость , в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности , проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности .

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде:
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:
.Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение.

Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной уравнением , в точке записывается в виде: .

Так как в условии задачи уравнение поверхности задано в явном виде, то сначала его необходимо преобразовать к виду : .

Теперь найдем частные производные (при этом, в первых двух случаях используем правило дифференцирования сложной функции одной переменной):

Вычислим значения частных производных первого порядка в точке :

Подставим полученные значения в уравнение касательной плоскости :

.

Нормальная прямая к поверхности

Прямая , проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности , называется нормалью к этой поверхности , проведённой в точке , или нормальной прямой .

Вектор-градиент

Градиент ), вектор , показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Если величина выражается функцией u (х, у, z), то составляющие Г. равны Г. обозначается знаком grad u. Г. в некоторой точке направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке, длина Г. равна

Понятием Г. широко пользуются в физике, метеорологии, океанологии и др., чтобы охарактеризовать скорость изменения в пространстве какой-либо величины при перемещении на единицу длины в направлении Г.: например, Г. давления, Г. температуры, Г. влажности, Г. скорости ветра, Г. солёности, Г. плотности морской воды. Г. электрического потенциала называется напряжённостью электрического поля.