Теорема о смешанных производных
Предположим, что: f (x, y ) определена в некоторой (открытой) области D; в этой области существуют производные , а также вторые смешанные производные , эти смешанные производные как функции х и у непрерывны в некоторой точке (х0, у0) области D . Тогда в этой точке имеет место равенство . где Δ х и Δ у — любые столь малые числа, что точка M1(x0 + Δ x, y0 + Δ y) находится в указанной области D . Введем вспомогательную функцию φ (x) = f (x, y0 + Δ y) − f (x, y0); тогда выражение А можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке [х0, х0 + Δ х] функции φ(х) одной переменной х: A = Δ φ = φ (x0 + Δx) − φ (x0) Поэтому, применяя к этой разности теорему Лагранжа, запишем где 0 < θ1 < 1. Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как приращение дифференцируемой на отрезке [у0, у0 + Δ у] функции одной переменной у. Применяя еще раз теорему Лагранжа (по переменной у), получаем (5) С другой стороны, если вести вспомогательную функцию ψ (y) = f (x0 + Δ x, y) − f (x0, y), то, поступая аналогично, получим A = Δ ψ = ψ (y0 + Δ y) − ψ (y0) а затем (6) Сравнивая (5) и (6), получаем . Переходя теперь в этом равенстве к пределу при Δ х → 0, Δ у → 0 и учитывая непрерывность частных производных или 41.Дифференцирование сложной функции z=f(u,v) u=u(t),v=v(t) Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u = u (x), v = v (x). Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции . Примеры 1. 2. .
42.Дифференцирование сложной функции z=f(u,v) u=u(x,y),v=v(x,y) Дифференцирование функции заданной не явно Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х. а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ; б) из полученного уравнения выразим . Пример: . 44.
45. Формула Тейлора z=f(x,y)
Теорема:
Экстремум. Необходимые условия если то сохр. знак Если А больше 0 min Если А больше 0 max Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если . Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум . Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции . Если точка -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то . Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5). Утверждение теоремы можно переформулировать так: если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции . Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции. Пример 7.18 Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .
Рис.7.21.График функции
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (829)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |