Полярные координаты. Координатные линии. Якобиан(вычисление)

окружность

лучи

Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

= =

Вычисление якобианас использованием правой разностной производной требует вычислять значения функций в точках. Если использовать центральную производную, то нужно находить значения функций в точках. С другой, стороны погрешность правой производной имеет порядок а центральной - . В большинстве случаев вычисление значения функции - это затратная по времени операция, поэтому используется правая разностная производная.

Вычисление площади, массы, объема срезанного цилиндра с помощью двойного интеграла.

Двойной интеграл применяется для вычисления площади плоской фигуры. f(x;y)=1 с высотой H=1. Объем такого цилиндра равен S обл. D.

В полярных координатах эта формула будет иметь вид:

Двойной интеграл легко вычисляется, если область D является прямоугольником. В этом случае двойной интеграл будет вычисляться через двукратный интеграл (повторный).

- двукратный интеграл , где интеграл f(x;y)dy - внутренний интеграл , а интеграл dx - внешний интеграл . Пределы интегрирования внешнего интеграла всегда должны быть числами. Пределы интегрирования внутреннего интеграла могут представлять либо числа, либо функцию.
Подынтегральная функция f(x;y) может разделяться на 2 переменных x и y в том случае, если представляет собой произведение или частное x и y. Если же функция представляет собой сумму или разность двух переменных x и y, то ее полностью записывают во внутренний интеграл и разделить ее нельзя.

Масса

К понятию интеграла по поверхности приводит, например, задача о вычислении массы , распределённой по поверхности с переменной поверхностной плотностью f(M).

Решим эту задачу.

Рис.1

Разобьём поверхность произвольным образом на п частей i (см. рис. 1) и выберем в каждой из них (также произвольно) точку Mi. Если части i достаточно малы, то за их массу можно принять произведение , i = 1, 2, …, n, где - площадь i-го участка поверхности (т.е. мы предполагаем, что каждый из участков i однородный с плотностью f(Mi), где i = 1, 2, …, n), тогда масса всей поверхности

(1)

Это значение тем точнее, чем меньше участки i. Переходя к пределу при , а значит, уменьшая размер каждого участка, получим точное значение массы поверхности

К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики, эти пределы называются поверхностными интегралами первого типа.

Теорема. Если при стремлении диаметров всех частей i к нулю интегральная сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается

(2)

Заметим, что этот интеграл обладает всеми свойствами криволинейного интеграла первого типа и, в частности, если подынтегральная функция
f(x, y, z) = 1, получаем формулу для вычисления площади поверхности

. (3)

Интегралу (2) можно придать механический смысл: если f(x, y, z) = - переменная плотность материальной поверхности , то масса этой неоднородной поверхности

. (4)

Выведем формулу для вычисления интеграла (2).