Интегрирование тригонометрических выражений R(sinx,cosx)непарных по sinx

Неопределенный интеграл

Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Из определения интеграла следуют две важные формулы:

 

Интергирование по частям.Примеры

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Примеры

Таблица интегралов

 

5. Рациональные дроби,правильные,не правильные,примеры

прав,не прав

Непр.----выделяем целую часть +прав дробь(раскладываем на целую дробь)

Прав. Дробь----в знаменатели-раскладываем на множители--à

Примеры:

х=0

1=5А В=1/5,С=-4А

 

Рациональные дроби.Разложение.Метод неопределенных коэффициентов.

Разложение дроби

подынтегральной функции на простейшие дроби , все сводится к достаточно простым интегралам

Метод неопределенных коэффициентов

Разложить дробь на простейшие.

Решение:

 

Комбинированный метод определения коэффициентов разложения рациональных дробей

 

Найдем коэффициенты разложения комбинированным методом :

Таким образом,

 

Интегрирование дробей 3 типа

Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:

Поэтому,

У полученного интеграла преобразуем знаменатель:

Следовательно,

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл .

Используем полученную формулу:

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:

 

1. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул

 

Интегрирование тригонометрических примеров

находятся с помощью тригонометрических формул

 

11..Интегрирование тригонометрических примеров

n-нечетная

Если n-четная--> понижаем степень

  sin2m x cos2n x dx

Понижение степени

cos2 x = + cos 2 x

sin2 x =  cos 2 x

 

Интегрирование тригонометрических выражений R(sinx,cosx)непарных по sinx

Специальные подстановки

1) Если R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t.