Предел и непрерывность
Лекция 10. Функции нескольких переменных. Цель: расширить понятие функции. Рассмотреть функцию двух переменных Z = f(x, y) как обобщение функции одной переменной, что позволяет использовать метод аналогий с функцией одной переменной. Подчеркнуть имеющие место существенные качественные различия, особенно в способах задания функции. Центральным вопросом данной темы является построение эмпирических формул, используя метод наименьших квадратов (МНК),который имеет важное прикладное значение и широко используется в курсах «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика», «Статистика» и других дисциплинах для построения, в частности, прогнозных моделей и выбора лучшей из них. Задача:четко представлять отличие и подобие при изучении основных понятий функции двух переменных. Научиться оценивать параметры линейной функции при построении эмпирических формул. 10.1. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Способы задания. 10.2. Предел и непрерывность. 10.3. Частные производные и дифференциал. 10.4. Экстремум функции и его необходимое условие. 10.5. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов.
Функции нескольких переменных. Основные понятия.
Например, S=Vt, давление , объем пирамиды , кинетическая энергия , прибыль , где – стоимость сырья, – транспортные расходы, – налоговая ставка, – временные затраты и т.п. Определение 1. Переменная z называется функцией n переменных x1, x2,…, xn, если каждой совокупности этих переменных (x1 ,x2…, xn) соответствует вполне определенное значение переменной z. В этом случае записывают Переменные x1,x2,…, xn называются независимыми переменнымиили аргументами, z - зависимая переменная, f - символ означает закон соответствия. Определение 2. Множество совокупностей чисел ( x1 , x2 ,…, xn), при которых z принимает действительные значения, называется областью определения функции z. Значение функции z при x1=x10, x2=x20,…,xn=xn0 называется частным значением функции и обозначается z0= f( x10 , x20 ,…, xn0) или z = z0 x1=x10, x2=x20,…,xn=xn0 Если переменная f зависит от двух переменных, то записывается в виде z = f(x,y). Примеры. Найдите область определения функций. 1. . Область определения: . 2. Область определения определяется неравенством x- y > 0 или y < 0. Всякую пару чисел (x,y) можно рассматривать как координаты некоторой точки M(x,y),принадлежащей плоскости xOy. Поэтому функцию переменных z = f(x,y) понимают как функцию точки M(x,y) и записывают: z = f(M). Отсюда следует, что область определения функции двух переменных представляет множество точек плоскости xOy. В первом примере область определения – есть вся неограниченная плоскость xOy; во втором примере неравенство y < x представляет полуплоскость (множество точек, лежащих ниже прямой y=x, рис. 10.1). Для функции область определения есть множество точек, определяемых неравенством или . Это неравенство определяет множество точек, лежащих ниже параболы (рис.10.2). Аналогично функции двух переменных функцию трех переменных можно рассматривать как функцию трехмерной точки u = f(x,y,z) или u = f(M) . В экономике достаточно часто используются производственные функции двух или более переменных: это функции, это функции, выражающие результат производственной деятельности от различных факторов x1,x2,.., xn. Например, одна из таких функций двух переменных – функция Кобба-Дугласа: , где допустим z– произведенного продукта, x1 – затраты труда, х2 – объем производственных фондов, b0 , b1 , b2 – неотрицательные константы; при этом b1+b2=1. Как и функции одной переменной, функции двух переменных можно задать различными способами: а) аналитический способ – функция задается в виде формулы (примеры 1,2); б) табличный способ. Находит частное применение в сложных расчетах на ЭВМ;
в) графический способ; г) в виде некоторого алгоритма. Рассмотрим графический способ задания функции двух переменных. Пусть в трехмерной системе координат каждой паре чисел (х,у) на плоскости хОу – назовем эту плоскость плоскостью аргументов. Пусть область определения функции z = f(x,y) есть некоторая область D(рис.9.3) Выберем точку Мо(x0 , y0). Ей соответствует значение функции f0 = f (x0,y0) и точка P0(x0,y0,z0). Придавая независимым переменным (х,у) все значения из области D, каждый раз получаем точки Мi(xi , yi) и соответствующие им точки Pi(xi,yi,zi), где zi = f (xi, yi) тем самым опишется некоторая поверхность , которая называется графиком функции z = f (x, y). Итак, графиком функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), связанных соотношением z = f (x, y). Очевидно, это множество – есть некоторая поверхность, проекцией которой на плоскости хОу является область D. Изучение функции z = f (x, y) по ее графику не всегда просто и не всегда возможно из-за трудностей построения графиков. Поэтому используют другие методы, в частности, метод поперечных сечений. Рассмотрим множество точек в области D, которым соответствует одно и то же значение функции z = h1 точки с аппликатой z = h1 лежат на поверхности на одной и той же высоте относительно плоскости
Рис. 10.3
аргументов. Они образуют некоторую линию, описываемую системой уравнений: z = f (x, y) (1) (рис 10.3) z = h1
число h1 называется уровнем. Определение. Множество точек на плоскости, в которых значения функции одно и то же, называется линией уровня функции z = f (x, y). Спроектировав линии уровня на плоскости хОу, получим на этой плоскости линии f (x, y)=h1 , которые являются топографической картой поверхности …(на этом принципе построения карты температур – изотермы, карты давлений – изобары и т.п.) Среди функций двух переменных самыми простыми являются линейные функции. Их графиком являются плоскости. Предел и непрерывность. Большая часть анализа для функции одной переменной может быть перенесена на случай функции двух переменных. Определение. Окрестностью точки Мо (x0 , y0) называется круг радиуса с центром в точке Мо (x0 , y0). Точка М (x,y) - произвольная точка окрестности. В этом случае , или (рис.10.4) Определение. Число А называют пределом функции при (или в точке Мо (x0 , y0)),если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для точек М (x,y), отстоящих от точки Мо (x0 , y0) на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство . В таком случае записывают: При выполнении пределов функции двух и более переменных имеют место все свойства пределов функции одной переменной, но практическая реализация этих свойств значительно сложней. Примеры. - неопределенность. Введем переменную . Очевидно, при и . Тогда: Пусть функция определена в точке Мо(x0 , y0) и некоторой её окрестности. Если аргументы x0 и y0 получат приращения и , то функция получит полное приращение , где , Определение. Функция называется непрерывной в точке Мо (x0 , y0), если при и предел приращения функции равен нулю, то есть (10.1) Из равенства (10.1) вытекает откуда, в свою очередь, получается (10.2) Из равенства (10.2) вытекает еще одно определение непрерывности функции в точке. Определение. Функция называется непрерывной в точке Мо (x0 , y0), если: 1)она определена в точке Мо (x0 , y0); 2)имеет конечный предел при и ; 3)этот предел равен значению функции в точке Мо (x0 , y0). Если в точке Мо (x0 , y0) условие непрерывности нарушено, то эта точка называется точкой разрыва функции . Примеры. Найти точки разрыва функций.
Аналогично функции одной переменной вводится понятие непрерывности функции двух переменных в области D: функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (505)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |