Понятия о неберущихся интегралах

Ранее было отмечено, что всякая функция f(x), непрерывная на отрезке (a,b). Интегрируема, то есть существует такая функция , что Однако не всегда первообразная, даже если она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Можно сказать, что мы имеем дело с некоторыми новыми, незнакомыми нам, функциями. В этом случае подобные интегралы называются неберущимися.

Таковы, например, следующие интегралы:

, , , , ,

Особый интерес в математике и ее прикладных вопросах представляет интеграл (интеграл Гаусса). Позже будет показано, как вычисляются эти интегралы.

Лекция 12. Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла.

Определенный интеграл, как предел интегральной суммы.

Цель занятия:

- показать, что к понятию определенного интеграла приводит необходимость решения задач в различных отраслях науки, техники, экономики;

-получить формулу Ньютона – Лейбница для вычисления определенного интеграла;

-ввести понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами.

Задача: четко представлять связь между определенными и неопределенным интегралами, их различие; помнить, что при использовании метода подстановки нужно изменять пределы интегрирования после введения новой переменной.

12.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

- задача о пути, пройденном точкой при неравномерном движении;

- задача о площади криволинейной трапеции;

- задача об объеме произведенной продукции.

Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задачи о пути, пройденном точкой при неравномерном движении.

Пусть по прямой движется точка с переменной скоростью, для которой известен закон измерения V=v(t) Требуется найти путь S. Пройденный точкой за промежуток времени [0;T]. Если бы скорость была постоянной, то путь легко было бы найти по известной формуле S=VT. В данном случае этой формулой воспользоваться нельзя. Поступим следующим образом.

Разобьем отрезок времени [0;T]. Произвольно на достаточно малые промежутки точками:

Длительность каждого элементарного промежутка времени равна . Если достаточно малы, то с некоторой погрешностью скорость на каждом элементарном отрезке можно считать постоянной. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток , , где и выбирается произвольно на этом отрезке (i=1, 2, … , n).

Весь путь , или

Чем меньше , тем меньше погрешность в каждом слагаемом При стремлении к нулю получаем (12.1)