Свойства определенного интеграла
1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций что и требовалось доказать. 2. 3. , где
Рис.12.3 4. 5. 6.Пусть для возрастает на отрезке . Значит , если 7. Пусть на отрезке ,тогда Действительно, если , то . Следовательно, . Откуда . Или Легко иллюстрируется на основании геометрического смысла. 8.Пусть функция непрерывна на отрезке и m и M – ее наименьшее и наибольшее значения соответственно на этом отрезке. Тогда (12.9) Доказательство. По условию . В соответствии со свойством (12.7) Откуда вытекает неравенство (9) Если на отрезке , то свойство легко иллюстрируется геометрически: площадь под кривой y=f(x) заключена между площадями прямоугольников с тем же основанием (b-a) и высотами 9. Теорема о среднем. Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке и - одна из ее первообразных (с=0). Значит . В соответствии с теоремой Лагранжа на отрезке существует точка в которой . Используя формулу Ньютона-Лейбница, имеем Или окончательно (12.10) Полученный результат (10) формулируется как теорема о среднем: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка , что справедливо равенство (10) Если на отрезке ,то теорема о среднем легко иллюстрируется геометрически: на отрезке всегда существует такая точка что площадь под кривой y=f(x) на равна площади прямоугольника со сторонами (b-a) и f( ) Найденное из равенства (12.10) называется средним значением функции f(x) на отрезке . Пример. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t)=-0,00625t2 (денежная единица/час), где t - время в часах от начала работы . Найти: объем произведенной продукции за один рабочий день и среднюю производительность за день. Среднее значение производительности за один рабочий день
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема 1. Пусть на отрезке задана непрерывная функция y=f(x) , и меющая первообразную F(x) , и пусть существует функция , такая, что 1. ; 2. …. и…. непрерывны на отрезке ; 3. непрерывна на отрезке . Тогда справедливо равенство (12.11) Доказательство. Таким образом, сравниваем левую и последнюю части, приходим к формуле (12.11). Как и в случае с неопределенным интегралом, использование замены переменной позволяет упросить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом, в отличие от неопределенного интеграла, нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно найти пределы изменения новой переменной интегрирования t, когда . Замечание. Как и в случае неопределенного интеграла, на практике новую переменную вводят как функцию . В этом случае пределы интегрирования новой переменной находятся совсем просто: Пример. Вычислить Решение. Пусть . Тогда . Если , то , если , то Следовательно, Теорема 2. Пусть функции и непрерывны и имеют производные на отрезке . Тогда (12.12) Доказательство. Как известно, . Проинтегрируем то равенство на отрезке . Но , откуда и следует формула (12.12), которая называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла. Пример. Вычислить Решение. Пусть , . Тогда , Применяя формулу (12), получаем
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (696)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |