Первообразная и неопределенный интеграл

При решении многих задач физики, математики требуется по заданной функции найти ее производную Но достаточно часто приходится сталкивать с обратными задачами, когда по известной производной требуется найти саму функцию .

Например, по закону измерения скорости V=V(t) необходимо найти закон движения S=S(t). Но . Таким образом, по известной производной следует найти функцию .

Определение. Операция отыскания функции по ее производной называется интегрированием, а раздел математики, изучающий способы интегрирования функций – интегральным исчислением.

Определение. Функция , определенная на промежутке называется первообразной для функции на том же отрезке, если для любого имеет место равенство

Примеры.

Очевидно, что если - первообразная для функции , то , где есть также первообразная той же функции.

Действительно, пусть , но и .

Вывод: если функция имеет хотя бы одну первообразную, то для нее существует бесчисленное множество первообразных.

Теорема 11.1.

Если некоторая первообразная функции , то выражение ,

где С – произвольная постоянная величина, исчерпывает множество всех

первообразных функции на данном промежутке.

Доказательство.

Пусть наряду с есть первообразная функции . Это означает, что:

отсюда , то есть ,

или .

иными словами, любые первообразные функции отмечаются на постоянную величину.

Функция имеющая на некотором промежутке первообразную, называется интегрируемой на этом промежутке.

Определение. Множество всех первообразных для функции на данном промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается следующим образом

– подынтегральная функция

– подынтегральное выражение

Очевидно, операция интегрирования ставит соответствие функции бесчисленное множество функций (первообразных) или говорят семейство функций.

Рис. 11.1

Отыскание первообразной для функции означает нахождение уравнения кривой по известному в каждой ее точке угловому коэффициенту касательной. Очевидно, в силу произвольности С таких кривых существует бесчисленное множество. Геометрически это объясняется тем, что в каждой задается лишь направление касательной, а не сама касательная. Каждая кривая получается с параллельным любой из них вверх (вниз). Каждая из кривых называется интегральной кривой.

Таким образом, с геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой бесчисленное множество (или семейство) интегральных кривых.

Пример – семейство кубических парабол.

Теорема существования неопределенного интеграла.Если

подынтегральная функция непрерывна на некотором отрезке, то она на

нем интегрируема.