Частные производные. Дифференциальные функции
Рис.10.6 Пусть функция определена в точке М0 (x, y) D и некоторой её окрестности. Её графиком является поверхность . Точке М0 (x, y) соответствует на поверхности точка P0(x0,y0,z0) (Рис. 10.6). Дадим аргументам x и y приращения и соответственно. Тогда функция Z получит полное приращение , где точка . Если дать приращение только аргументу x, зафиксировав значение аргумента y , то функция z получит частное приращение , измеряемое величиной отрезка (Рис.10.6). Аналогично вводится понятие частного приращения равного величине . Определение. Предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента, когда последнее стремится к нулю, вычисленный в предположении того, что второй аргумент сохраняет постоянное значение (если этот предел существует), называется частной производной функции двух переменных по соответствующей переменной. Обозначаются частные производные следующим образом: Аналогично вводится понятие частных производных для функции трех и более переменных. Геометрический смысл частных производных функций показан на рис. 10.6. Частная производная , где - угол наклона касательной к поверхности и осью ОX в сечении этой поверхности плоскостью x=x0. Пример.Найти частные производные функций 1. z = x2 + y2 - 3xy + x3y Расматривая y как константу, а затем x как константу, получаем соответственно . 2. Обобщая понятие дифференциала функции одной переменной на случай функции двух переменных, введем определения. Определение. Выражение называется полным дифференциалом функции двух переменных. Как и для функции одной переменной для независимых переменных Следовательно, полный дифференциал в точке Мо (x0 , y0): представляет собой линейное выражение. По аналогии с функцией одной переменной можно показать, что полное приращение функции f(x,y) (10.3). и - бесконечно малые величины. В этом случае дифференциал есть главная линейная часть приращения функции z = f(x,y). Определение. Если полное приращение функции z = f(x,y) может быть представлено в виде (10.3), функция f(x,y) называется дифференцируемойв точке (x,y). Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в точке (x,y) и имеет в ней частные производные и . Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных, и если они непрерывны, то можно ставить вопрос о существовании для них производных по любому из аргументов. Эти производные называются частными производными второго порядка функции z. ; ; ; и называются смешанными частными производными второго порядка. Имеет место следующая теорема. Если смешанные частные производные второго порядка функции z = f(x,y) непрерывны в некоторой точке М0 (x0, y0), то они в ней равны = Пример. Найти частные производные второго порядка функции . Находим частные производные первого порядка.
Убеждаемся, что
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (590)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |