Преобразование ключевой строки

Методические указания к выполнению контрольной работы №1

 

Указания к задаче 1

Для решения задачи 1 (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения:

1). Угол наклона прямой к оси ОХ – это тот угол, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если по­ворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачи­ваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой φ.

2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона пря­мой к оси ОХ. Будем обозначать его буквой k. Следовательно.

k = tgφ (1)

3). Уравнение прямой с угловым коэффициентам

Если прямая не параллельна оси OY (рис. I), то ее уравнение

y=kx+b, (2)

где b - координата точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой.

 

Если прямая параллельна оси OY (рис. 2), то ее уравнение

x=a, (3)

где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью OX.

4). Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀) и имеющую угловой коэффициент k,

y-y₀₌k(x-x₀), (4)

 

где (x₀,y₀) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные, точки М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂):

(5)

 

где ; (x₁,y₁) - координаты одной точки на прямой, (x₂,y₂) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

6). Общее уравнение прямой:

Ax + By +C=0, (6)

где A, B, С - заданные числа, причем А и В одновременно в нуль не обращаются. (x,y) - координаты любой точки на прямой.

Если В не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобра­зовать следующим образом:

(6')

Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем:

7). Условие параллельности двух прямых

k₁=k₂; (7)

где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

8). Условие перпендикулярности двух прямых

k₁·k₂=-1, (8)

где k₁ и k₂ - угловые коэффициенты прямых.

9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых.

Если две непараллельные прямые заданы своим уравнениями:

A₁X+B₁Y+C₁=0 и A₂X+B₂Y+C₂=0,

то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений:

(9)

 

10). Нахождение координат середины отрезка

Если точка А имеет координаты (x_а,y_а), а точка В - (x_ь,y_ь), то координаты середины О отрезка АВ можно найти по формулам:

(10)

 

11). Нахождение длины отрезка

Если точка А имеет координаты (x_а,y_а), а точка В - (x_ь,y_ь), то длину отрезка АВ можно найти по формуле:

(11)

 

12). Свойства диагоналей параллелограмма и ромба

Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам. Диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

13). Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон треугольника и параллельна третьей стороне.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

2x+3y-12=0 и x-y-1=0 и наклонной к оси OX под углом π/4.

Решение. Найдем точку пересечения прямых 2x+3y-12=0 и x-y-1=0. Для этого следует решить систему уравнений (9):

Следовательно прямая проходит через точку М₀(3,2). Прямая наклонена к оси ОX под углом π/4, поэтому по формуле (1) найдем угловой коэффициент k=tgφ=tgπ/4=1.

Прямая проходит через точку М₀(3,2) и имеет угловой коэффициент k=1, поэтому уравнение прямой будем искать в виде (4):

y-y₀=k(x-x₀), где x₀=3, y₀=2, k=1.

Тогда получим: y-2=1(x-3)Þx-y-1=0.

Задача 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку C(3,2) и середину отрезка АВ, где А(3,5), B(-7, 9).

Решение. Найдем координаты середины отрезка АВ по формулам (10):

Подставляя x_a=3, x_b=-7, y_a=5,

 

y_b=9, получим: x₀=-2, y₀=7, т.е. O(-2,7) – середина отрезка AB. Прямая проходит через две точки С(3,2) и О(-2, 7), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5):

 

 

Подставляя x₁=3, x₂=-2, y₁=2, y₂=7, получим:

 

 

Задача 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку С(3,2) параллельно прямой 4x+5y-2=0.

Решение. Найдем угловой коэффициент k₁ прямой 4x+5y-2=0. Для этого представим уравнение в виде (2): у=kx+b.

Следовательно,

 

Используя условие параллельности прямых (7), получим, что угловой коэффициент прямой

Так как прямая проходит через точку С(3,2) и имеет, то уравнение прямой будем искать в виде(4):

y-y₀₌k(x-x₀).

Подставляя x₀=3, y₀=2, получим:

Задача 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямой 2x-3y+12=0 с осью OX, перпендикулярно прямой x+2y+4=0.

Решение. Найдем угловой коэффициент k₁ прямой x+2y+4=0. Для этого представим наше уравнение в виде (2): у=kx+b.

Следовательно, Используя условие перпендикулярности прямых (8),

получим угловой коэффициент прямой

Найдем точку пересечения прямой 2x-3y+12=0 с осью OX. В точке пересечения с осью OX координата y=0 , поэтому 2x+12=0Þ x=-6. Получаем точку С(-6,0). Прямая проходит через точку С(-6,0) и имеет k=2, поэтому уравнение прямой будем искать в виде (4): y-y₀₌k(x-x₀).

Подставляя x₀=-,6 y₀=0, k=2 получим:

Задача5. При каких значениях «а» прямые (а-3)x+4y+1=0 и 3x+8y+1=0 перпендикулярны?

Решение. Представим уравнения прямых в виде (2): у=kx+b.

 

Следовательно, Воспользуемся условием перпендикулярности прямых (8):k₁•k₂=-1.

 

 

Задача 6. Найти проекцию точки А(1,1) на прямую 2x+3y+12=0.

Решение. Проекция точки на прямую - это точка пересечения данной прямой и перпендикуляра к ней, проведенного через точку А, Найдем угловой коэффициент k₁ данной прямой. Для этого представим уравнение 2х+Зу+12=0 в виде (2): у=k₁x+b.

 

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух, прямых (8): k₁•k₂=-1.

Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:

Так как перпендикуляр проходят через точку А(1,1) и имеет то будем искать его уравнение в виде (4): y-y₀₌k(x-x₀). Подставляя x₀=1,y₀=1, получим:

 

 

Найдем точку пересечения прямой 2x+3y+12=0 и перпендикуляра 3x-2y+1=0, решая систему уравнений (9):

 

 

 

Следовательно, точка проекция точки А(1,1) на прямую 2x+3y+12=0.

Задача 7. Точки A(-2,-l), В{5,-2) и С(0,4) являются вершинами треугольника ABC. Найти точку пересечения меридиан треугольника.

Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой M, а середину стороны АС буквой N. Тогда координаты точек M и N найдем по формулам деления отрезка пополам.

 

Уравнения медиан AM и AN найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AM проходит через точки

А(-2;1) и М(2,5;1), поэтому:

 

 

Медиана BN проходит через точку B(5;-2) и N(-1;1,5), поэтому:

 

 

Точку пересечения медиан AM и BN найдем из системы уравнений:

т.е. точка пересечения медиан имеет координаты .

Задача 8. При каком m прямая 5у-mx+m-2=0 проходит через точку

A(-1;2)?

Решение. Так как точка А(-1;2) принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют

уравнению прямой, поэтому имеем:

Указания к задаче 2

 

Задача 2 связана с графическим решением системы неравенств с двумя переменными. Для решения этой задачи используются следующие соображения:

1.Любое уравнение вида определяет на плоскости некоторую прямую , делящую плоскость на две части (полуплоскости),лежащие по разные стороны от прямой. В пределах каждой из них левая часть уравнения сохраняет знак: в одной из полуплоскостей она положительна, а в другой отрицательна. Для определения знака выражения в пределах каждой из полуплоскостей достаточно вычислить его в любой точке этой полуплоскости (рис.1)

Для решения системы линейных неравенств нужно для каждого из неравенств построить соответствующую прямую и выяснить, в какой из определяемых ею полуплоскостей левая часть имеет нужный знак, а затем определить пересечение (общую часть) всех выделеных полуплоскостей.

Пример. Решить графически систему линейных неравенств и найти координаты вершин полученной области.

Решение. Начнем с рассмотрения неравенства (1) .

Прямая , соответствующая этому неравенству, описывается уравнением : .

Для ее построения найдем две точки, лежащие на прямой. Положим , тогда , т.е. прямая проходит через точку (0;4). Будем откладывать по оси абсцисс, а по оси ординат. Положим теперь , тогда , т.е. прямая проходит через точку (6;0). Нанесем эти точки на рис.2 и проведем через их прямую . В начале координат (0;0) левая часть уравнения (т.е. ) отрицательна : . Следовательно, все точки, в которых , лежат по ту же сторону от прямой , что и начало координат (0;0). На рис.2 это отмечено стрелками. Мы построили множество решений первого неравенства. Аналогично поступим с остальными неравенствами.

Прямая , соответствующая неравенству (2), описывается уравнением : .

Она проходит через точки . Нанесем эти точки на рис. 2 и проведем через них прямую .

В начале координат (0;0) левая часть уравнения (т.е. ) положительна. Следовательно, все точки, в которых , лежат по туже сторону от прямой , что и начало координат. На рис.2 это отмечено стрелками.

Прямая , соответствующая неравенству (3), описывается уравнением : .

Она проходит через точку и параллельна оси абсцисс. Нанесем ее на рис. 2. Вначале координат (0;0) левая часть уравнения (т.е. ) положительна. Следовательно, все точки, в которых , лежат по туже сторону от прямой , что и начало координат. На рис. 2 это отмечено стрелками.

Прямая , соответствующая неравенству (4), описывается уравнением : .На рисунке- это ось ординат. В точке (1;0) левая часть уравнения (т.е. ) положительна. Следовательно, все точки, в которых , лежат по другую сторону от прямой , чем точка (1;0). На рис.2 это отмечено стрелками.

Теперь заштрихуем ту часть плоскости, которая соответствует всем стрелкам. Получим треугольник . Из рисунка видно, что Точка является точкой пересечения прямых и , поэтому ее координаты найдем решив систему уравнений :

.

Следовательно , координаты вершин нашей области :

 

 

Указания к задаче 3

Meтод Жордана

Система линейных алгебраических уравнений называется системой с базисом, если в каждом ее уравнении имеется выделенное неизвестное, не входящее ни в одно из остальных уравнений и входящее в данное уравнение с коэффициентом, равным единице При соответствующей нумерации неизвестных (в k-м уравнении выделенной служит неизвестная x_k) система с базисом имеет вид:

 

(A)

 

 

Выделенные неизвестные x₁, x₂……., x_m называют базисными, а остальные – свободными (небазисными).

Если члены, содержащие свободные неизвестные, перенести в правую часть, то система с базисом запишется в следующем эквивалентном виде:

 

(B)

 

 

Решение системы (В) получается сразу: надо придать свободным неизвестным любые значения и определить из системы (В) отвечающие им значения базисных неизвестных. Ясно, что полученный таким образом набор значений x₁, x₂……., x_m, x_m+1 ,…. x_n ,будет решением системы (В) и, тем самым, решением исходной системы (А). Также ясно, что таким образом может быть получено любое решение исходной системы. Другими словами: соотношения (В) дают общий вид решения системы (А).

Пример

 

В системе

 

базисными неизвестными служат x₂, x₅, x₆. Решая систему относительно этих неизвестных, получим:

Эти формулы дают общее решение исходной системы: при любых конкретных значениях свободных неизвестных x₁, x₃, x₄, они дают решение системы, и любое решение может быть получено таким путем. Положив, например, x₁ = x₃ = x₄=0, получим для базисных неизвестных x₂=10, x₅=8, x₆=15 и решение системы - вектор X⁽⁰⁾ = (0;10;0;0,8;15). При x₁=1, x₃=-1, x₄=4 получим значения x₂=10-3+2+2=11 , x₅=8-2-5-4=--3. x₆= 15-4+3+10=24 и решение - вектор. X⁽¹⁾ = (1;11;-1;4;-3;24).

Заметим, что решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным. В нашем примере - это X⁽⁰⁾.

Решение общей системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана заключается в планомерном преобразовании системы к эквивалентной ей системе с базисом.

Алгоритм метода опишем на конкретном примере системы:
(1)

(2)

(3)

(4)

Систему рассматриваем для двух возможных значений правой части b₃, третьего уравнения b₃=15 и b₃=10.

Отдельный шаг преобразования заключается в назначении в одном из уравнений неизвестной, которая должна быть в нем базисной, и исключении ее из остальных уравнений. Этот шаг повторяется до тех пор пока это возможно (см. ниже).

Выделим в первом уравнении неизвестную х₂. Так как коэффициент при базисной неизвестной должен равняться единице, то делим обе части уравнения на коэффициент при х₁ (т.е. на -1). Получим.

-7х₁+x₂-5x₃+х₄-2x₅=-12. (1’)

Пользуясь уравнением (1’), исключим неизвестную х₂ из остальных уравнений. Для этого умножаем (1’) на - 4 и складываем с уравнением (2). Затем умножаем (1’) на 6 и складываем с уравнением (3) Затем умножаем (1') на - 2 и складываем с уравнением (4).

(2’)

(3’)

(4’)

Базисная переменная в первом уравнении выделена. При этом получена эквивалентная система (1’) - (4’).

Аналогичным образом выбираем неизвестную х₄, а уравнении (2’) и превращаем ее в базисную и т.д. Весь алгоритм оформляется в виде последовательных преобразований (описанного выше типа) таблицы, в которой записана вся информация о системе, каждая строка таблицы дает запись одного уравнения. В первом столбце записаны правые части уравнений, в остальных - коэффициенты при неизвестных см. на с. 19 Т.1.

Каждый шаг (так называемая большая итерация) требует выполнения следующих действий:

1. Выбор главного(ключевого или ведущего) элемента

За главный элемент можно принять любой отличный от нуля коэффициент при одном из неизвестных. В каждой строке главный элемент может выбираться только один раз. Невозможность выбора главного элемента говорит об окончании вычислений. Выбранный элемент заключается в квадратик. Его строку и столбец будем называть ключевыми.

Преобразование ключевой строки

Все элементы ключевой строки делятся на главный элемент. На его месте возникает единица. Полезно ее подчеркнуть.