Свойства сходящихся рядов
Если ряд сходится, то удаление или добавление любого конечного числа членов ряда не влияет на факт его сходимости, а меняет только значение его суммы. Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд тоже сходится и его сумма равна . Если сумма ряда равна , а сумма ряда равна , то ряды сходятся и их суммы равны . Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при . Отсюда вытекает, что если , то ряд расходится. Доказательства указанных свойств можно найти в [1-3]. Пример 1.2 Исследовать сходимость ряда: Решение. Здесь Ответ: ряд расходится. В практических задачах довольно часто не удается найти точное значение суммы ряда. В этом случае приближенно считают , выбирая n достаточно большим, можно найти значение с любой нужной точностью. Важно только знать, что существует т.е., что ряд сходится. Это можно проверить с помощью признаков сходимости- расходимости рядов. Признаки сходимости положительных рядов Пусть дан ряд с положительными членами . Предположим, что существует предел . Тогда, если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится (радикальный признак Коши). Замечание: если , то признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 1.3 Исследовать сходимость ряда где и . Решение : . Ответ: При ряд сходится; при ряд расходится. При ряд расходится, так как . Пусть дан ряд с положительными членами . Предположим, что существует предел . Тогда, если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится (признак Даламбера). Замечание: если , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 1.4 Исследовать сходимость ряда Решение : Ответ: ряд сходится. Пусть дан ряд члены которого положительны и монотонно убывают . Предположим, что существует функция ,удовлетворяющая условиям: А) определена и непрерывна при ; Б) и монотонно убывает при ; В) . Тогда несобственный интеграл первого рода, определяемый соотношением , и данный ряд сходится или расходится одновременно (интегральный признак Коши). Пример 1.5 Исследовать сходимость ряда . Решение : Вычислим несобственный интеграл в зависимости от значения а. Если то , т.е. расходится. Если , , т.е., сходится. Если , то , т.е., расходится. Ответ: ряд сходится при и расходится при . Пусть даны два ряда с положительными членами и причем для всех n выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a); из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b) (теорема сравнения).Если предел отношения общих членов рядов (a) и (b) является конечным, не равным нулю числом, то эти ряды одновременно или оба сходятся, или оба расходятся (признак сравнения в предельной форме). Доказательства перечисленных признаков приведены [1-3]. Пример 1.6 Исследовать сходимость ряда . Решение: Сравним с расходящимся гармоническим рядом , который расходится. . Ответ: ряд расходится.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (392)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |