Методические указания к выполнению контрольной работы №2

Раздел II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Задание 1. Вычисление производных

Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция =F(φ(X)), причем промежуточная функция U=(φ(X)) имеет в некоторой точке X производную U’=(φ’(X)), а функция Y=F(U) - в соответствующей точке U производную Y’_u=F’(U). Тогда функция Y= F(φ(X)) имеет производную в точке X и Y’_x=F'(U)·φ или Y’_x=F'_u·U’_x, т.е. производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной.

При вычислении производных удобно пользоваться таблицей производных в следующей форме (U - дифференцируемая функция от некоторой переменной).

1. Y=C Y’=0.

2. Y=U Y’=U’

3. Y=U^α(α=const) Y’=α·U^α-1·U’

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Пример. Найти производную функцию.

т.е. где

Логарифмическая производная

Логарифмическая производная функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции, т.е. при y>0.

Нахождение производной от функций, которые допускают допускают операцию логарифмирования, значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. Заметим, что логарифмическую производную будем применять формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y>0.

Пример. Найти y', если

Производная неявной функции

Функция y(х) называется неявной, если зависимость между х и y выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно y.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая y функцией от x, и вновь полученное уравнение решить относительно производной y’.

Пример. Найти y’_x, если

Задание 2. Исследование функций и построение графиков.

При построении графика функции следует:

1. Найти, область определения функции,

2. Определить четность (нечетность), периодичность функции,

3. Найти точки разрыва,

4. Определить точки пересечения графика с осями координат,

5. Найти точки экстремума я вычислить значения функции в этих точках,

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции,

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости,

8. Определить асимптоты,

9. Найти предельные значения функции при х стремящимся к граничным точкам области определения.

Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок плана.

Исследование функций с помощью производных