Экономический смысл теории двойственности

Данную задачу можно интерпретировать с экономической точки зрения.

Согласно следствию к третьей теореме двойственности, при увеличении ресурса на одну единицу, оптимальное значение прибыли при реализации готовой продукции возрастет на д.е; при увеличении ресурса на одну единицу, оптимальное значение прибыли возрастет на д.е. Увеличение же не дефицитных ресурсов не увеличит прибыль, это видно из того, что , . То есть компоненты оптимального решения двойственной задачи, являются оценками степени дефицитности имеющихся ресурсов для производства запланированной продукции и могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положитель­ную оценку, а ресурс избыточный (используемый не полно­стью) имеет нулевую оценку

Теперь предположим, что существует некоторая организация желающая выкупить ресурсы , , , , имеющиеся в наличии у предприятия. Естественно, организация хотела бы выкупить у предприятия ресурсы, неся при этом как можно меньшие денежные затраты. Поэтому перед администрацией предприятия возникает новая задача: найти оптимальные оценки на единицу каждого вида ресурса , , , соответственно, такие, что продажа ресурсов по этим оценкам была бы не менее выгодна, чем продажа готовой продукции, которую могло бы произвести предприятие из имеющихся ресурсов.

В качестве оценки единицы ресурса каждого вида, возьмем оценки оптимального решения двойственной задачи, т.е. оценим ресурсы в зависимости от степени их дефицитности для организации производства продукции и . В этом случае

1) д.е. – стоимостная оценка всех имеющихся ресурсов, которая с учетом интересов покупающей организации минимизируется;

2) д.е. – стоимостная оценка на прибыль, получаемую при продаже ресурсов необходимых для производства одной единицы продукции , которая в соответствии с интересами продающего ресурсы предприятия должна быть не меньше, чем прибыль (4 д.е.), получаемая при реализации единицы готовой продукции .

3) д.е. – стоимостная оценка на прибыль, получаемую при продаже ресурсов необходимых для производства одной единицы продукции , должна быть не меньше 3 д.е.

Учитывая то, что стоимостные оценки не могут быть отрицательными, строим модель задачи, получим модель (4.6).

Задачи для самостоятельного решения

Задача №4.2.

Составить и решить задачу двойственную задаче:

при условии выполнения ограничений

Задача №4.3.

Используя графический метод и теоремы двойственности найти минимум целевой функции при условии выполнения ограничений:

Задача №4.4

Используя графический метод и теоремы двойственности найти максимум целевой функции при условии выполнения ограничений:

Задача №4.5.

Построить и решить с использованием теории двойственности задачу двойственную задаче №2.6.

Задача №4.6.

Построить и решить с использованием теории двойственности задачу двойственную задаче №1.2. Воспользоваться решением задачи № 2.10.

Задача №4.7.

Построить и решить с использованием теории двойственности задачу двойственную задаче №1.11. Воспользоваться решением задачи № 2.11.

Задача №4.8.

Построить и решить с использованием теории двойственности задачу двойственную задаче №1.19. Воспользоваться решением задачи № 2.12.

Транспортная задача

Транспортная задача – это задача о минимизации транспортных расходов, связанных с обеспечением пунктов потребления определенным количеством однородной продукции (груза), производимой (хранимой) в нескольких пунктах производства (хранения).

В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом. Однородный груз, сосредоточенный в пунктах производства (хранения), необходимо распределить между пунктами потребления. Стоимость перевозки единицы груза известна для всех маршрутов. Необходимо составить такой план перевозок, при котором выполнялись бы следующие условия:

1) запросы всех пунктов потребления должны быть удовлетворены;

2) имеющиеся мощности поставщиков реализованы;

3) общие транспортные расходы по доставке груза были бы минимальными.

Примем следующие обозначения:

-	номер пункта производства (хранения) (i=1,2,…,m);
-	номер пункта потребления (j=1,2,…,n);
-	количество груза, имеющегося в i-ом пункте производства (мощность поставщика);
-	количество груза, необходимое для j-го пункта потребления;
-	стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения (коэффициенты затрат);
-	количество груза, планируемого к перевозке от i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения.

Исходные данные описанной задачи удобно записать в таблицу, которую называют распределительной таблицей транспортной задачи.

Поставщи- ки	потребители	Запасы
	…		…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
Потребности		…		…