Раздел 1. Архитектура персонального компьютера

Наиболее известной непозиционной системой счисления является римская система счисления. В ней запись различных целых количеств производится с помощью цифр I, V, X, L, С, D, М и т.д., обозначающих количества один, пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот, тысяча и т.д. Несколько стоящих подряд цифр изображают сумму количеств, обозначаемых этими цифрами. Например, II = I + I - два; XXX = X + X + X - тридцать. Пара цифр, в которой младшая цифра (обозначающая меньшее количество) стоит слева от старшей (обозначающей большее количество), изображает разность соответствующих количеств. Например, IV = V - I - четыре; XL = L - X - сорок; СМ = M - С - девятьсот. Запись, состоящая из старшей цифры (или старшей группы цифр) и стоящей справа от нее младшей цифры (или группы цифр), изображает сумму количеств, отвечающих этим цифрам (или группам цифр). Например, XI = X + I - одиннадцать; XIV = X + IV - четырнадцать; XLIV= XL + IV -сорок четыре. Запись MCMLXXXVII расшифровывается следующим образом:

MCMLXXXVII = М + СМ + L + XXX + VII

и означает число одна тысяча девятьсот восемьдесят семь.

Запись цифр в определенном порядке будем называть числом.

Изображение чисел в римской системе счисления является весьма неудобным, что и объясняет ограниченное использование этой системы счисления в наше время.

Рассмотрение позиционных систем счисления начнем с хорошо знакомой десятичной системы счисления. В этой системе для записи чисел используется десять различных знаков - цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры обозначают количества от нуля до девяти. Количество, равное десяти, требует уже для своей записи две цифры "10". Остальные количества записываются числами, представляющими собой последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. Десятичную систему называют позиционнойпотому, что значение количеств, изображаемых одной и той же цифрой меняется в зависимости от ее положения в числе. Так, например, в числе 214252 двойка, стоящая на первой позиции, означает количество единиц, на третьей позиции -количество сотен, а на шестой - количество сотен тысяч.

К позиционной системе счисления относятся и восьмеричная, и шестнадцатеричная системы счисления. Допустим, нам необходимо построить восьмеричную систему счисления. Основание системы счисления в этом случае равно восьми. Максимальное количество, которое может быть отображено с помощью цифр в этой системе счисления равно семи, а первые восемь цифр десятичной системы счисления - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Тогда, например, число 256, записанное в восьмеричной системе счисления, в десятичной системе счисления будет означать количество, равное

256(8) = 2 • 8 ² + 5 • 8 ' + 6 • 8° = 128 + 40 + 6 = 174(10).

Индексы в скобках означают основания систем счисления.

При построении шестнадцатеричной системы счисления основанием системы счисления будет количество, равное шестнадцати. Поэтому для записи цифр в этой системе счисления необходимо шестнадцать символов. Возьмем в качестве символов, обозначающих количества от нуля до девяти, цифры десятичной системы счисления: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения количества от десяти до пятнадцати воспользуемся символами A, B, C, D, E, F соответственно.

Тогда число B5F(16), записанное в шестнадцатеричной системе счисления, будет означать количество, которое в десятичной системе счисления можно определить следующим образом:

B5F(16) = 11 • 16 ² + 5 • 16¹ + 15 • 16 ° = 2911(10).

Минимальным целым положительным числом, которое может служить знаменателем геометрической прогрессии, является два. Следовательно, два - это минимальное количество, которое может служить основанием системы счисления. В этой системе счисления, которая носит название двоичной, всего две цифры - 0 и 1. Тем не менее, в этой системе счисления может быть записано любое количество. Так, число 1011(2) означает количество, которое можно записать в десятичной системе счисления следующим образом:

1011(2) = 1*2³ + 0*2² +1*2¹ +1*2⁰ = 11(10).

Из сравнения позиционных систем счисления с различными основаниями можно сделать вывод о том, что, чем больше основание системы счисления, тем меньше требуется разрядов для записи одного и того же количества, более компактна запись числа. Однако количество цифр, используемых для записи числа, при этом увеличивается.

Вопросы для закрепления:

1. Какие системы счисления называют позиционными, а какие – непозиционными? Приведите примеры.

2. Что называется основанием системы счисления?

3. Почему для вычислительной техники особенно важна система счисления по основанию 2?