Операторы физических величин. Средние значения

Лекция 9. Уравнение Шредингера.

исходное волновое уравнение:

, (2.1)

решение – плоская волна:

, (2.1a)

действие операторов и :

(2.1б)

подстановка (2.1б) в исходное уравнение:

. (2.1в)

Отсюда следует дисперсионное уравнение, связывающее частоту и волновое число плоской волны (2.1а): . (2.2)

: , (2.3)

. (2.4)

, (2.3а)

. (2.4а)

Чтобы записать уравнение Шредингера для волновой функции, воспользуемся схемой (2.1-2.2), идя «снизу вверх» – от (2.2) к (2.1). «Дисперсионным уравнением», связывающим частоту и волновой вектор волн де Бройля, является формула для полной энергии частицы:

, (2.5) пользуясь соотношениями (1.49), (1.50), из (2.5) получаем: . (2.5а)

Умножим формально обе части (2.5а) на волновую функцию: . (2.5б)

Заменяем затем и на операторы согласно (2.3а), (2.4а). Тогда приходим к искомому уравнению Шредингера: , (2.6)

где величина (2.7)

оператор Гамильтона, или гамильтониан. оператор импульса: .(2.8)

Уравнение (2.6) - нестационарное уравнение Шредингера.

Если потенциальная энергия не зависит от времени, то оператор Гамильтона (2.7) зависит только от координат. В этом случае состоянияквантовой системы называются стационарными. Для таких состояний . Тогда из (2.6) получаем: , где Е – постоянная разделения, имеющая смысл энергии состояния. Отсюда следует, что временная зависимость волновой функции согласно уравнению является вполне определенной: . Пространственная зависимость волновой функции описывается уравнением: . (2.9)

То для стационарных состояний волновая функция имеет вид: .(2.10)

. Поэтому они называются стационарными. Уравнение (2.9) - стационарное уравнение Шредингера, . (2.11)

справедливпринцип суперпозиции решений. Суперпозиция стационарных решений с разными значениями энергии, в общем, может не быть стационарным решением.

. (2.12)

В этом случае плотность вероятности зависит от времени:

. (2.12a)

Видно, что плотность вероятности периодически изменяется с частотой , которая совпадает с боровской частотой перехода между стационарными состояниями.

Условие нормировки волновой функции вытекает из уравнения Шредингера: умножая уравнение (2.8) слева на функцию , а комплексно–сопряженное уравнение – на , и затем, вычитая полученные выражения, приходим к уравнению:

.

Вектор (2.13) интерпретируется как вектор плотности потока вероятности. Таким образом, приходим к уравнению, имеющему смысл уравнения сохранения вероятности: . (2.13a)

Уравнение Шредингера является нерелятивистским и не учитывает важного свойства микрочастиц – их спина.

В результате воздействия оператора Гамильтона (2.7) на волновую функцию получается та же волновая функция, помноженная на постоянное значение энергии. Тогда говорят, что поставлена задача на собственные значения оператора, в данном случае, оператора Гамильтона. решение этой задачи существует при строго определенных значениях, образующих энергетический спектр рассматриваемой системы: Эти значения называются собственными значениями энергии, а соответствующие им волновые функции называются собственными функциями.Квадрат модуля собственной волновой функции определяет плотность вероятности того, что квантовая система находится в элементе объема dV вблизи точки в состоянии со значением энергии . . (2.14а)

Рассмотрим теперь уравнение Шредингера (2.9) для собственной функции с собственным значением энергии и для собственной функции с собственным значением По физическому смыслу собственные значения энергии должны быть действительными величинами. Будем считать, что эти значения энергии различны:

.

Умножим первое из этих уравнений на , а второе – на , и затем вычтем одно из другого: . Используя теоремы Гаусса–Остроградского: . Так как, , следует соотношение: . => собственные волновые функции, отвечающие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Вместе с формулой (2.14а) полученное соотношение может быть записано единым образом как условие ортонормировкисобственных волновых функций:

, (2.14)

Если F – некоторая физическая величина, то ей сопоставляется оператор , для которого аналогично (2.9) ставится задача на собственные значения. Эти собственные значения образуют спектр величины F. В общем спектр может быть дискретным и может быть непрерывным. квантовые операторы должны быть линейными. Такие операторы определяются условиями: ( + ) = = + , (а )=а ,

В случае дискретного спектра задача на собственные значения ставится аналогично (2.9):

. (2.15)

Собственные функции удовлетворяют условию ортонормировки. согласно принципу суперпозиции, что волновая функция , в общем, должна быть представлена в виде линейной комбинации собственных функций оператора : , (215а)

где – некоторые коэффициенты. Используем условие нормировки волновой функции и условие ортонормировки собственных функций (2.14). В результате получаем:

(2.16)

Отсюда следует, что величину можно интерпретировать как вероятность того, что величина F имеет значение . Умножая (2.15а) на и используя условие (2.14), находим, что коэффициенты разложения (2.15а) определяются формулой

. (2.16а)

Среднее значениевеличины F : . (2.17)

Преобразуем это выражение, используя соотношения (2.16а), (2.15), (2.15а):

.

В этом случае коэффициент , а остальные коэффициенты обращаются в нуль.

В этом случае говорят, что оператор – эрмитов оператор. Более общее условие эрмитовости оператора определяется соотношением: ,

Таким образом, операторы физических величиндолжны быть линейнымииэрмитовыми.

В стационарных состояниях . В этом случае состояние, описываемое функцией с разложением (2.15а), не является стационарным. Подставляя такую функцию в (2.17а), получаем:

. (2.17б)

Величина (2.17в) называется матричным элементом оператора , соответствующим переходу из состояния n в состояние . Коэффициенты . Временная зависимость в (2.17б) определяется множителем , где – частота перехода. Совокупность всех матричных элементов образует матрицу оператора . Диагональные элементы этой матрицы

(2.17г)

Если – общая собственная функция операторов и , то . Подействуем теперь на первое их этих соотношений оператором , а на второе соотношение – оператором . В результате полу-чаем:

.

Отсюда следует: . . Это соотношение записывается в виде символического равенства: .

О таких двух операторах говорят, что они коммутируютдруг с другом, т.е. результат действия двух таких операторов на некоторую функцию не зависит от последовательности действия этих операторов. если операторы имеют общие собственные функции, то они коммутируют друг с другом. если операторы коммутируют, то они имеют общие собственные функции.Физически это означает, что соответствующие физические величины могут одновременно иметь определенные измеряемые значения.

Разность называют коммутатором операторов и . Для коммутатора используют обозначение: .

Волновые функции системы обладают важным свойством, называемым четностью. Это свойство связано с преобразованием инверсии - изменение знаков всех декартовых координат на обратные: . Такое преобразование, эквивалентное замене правой системы координат на левую, при этом оператор Гамильтона не должен менять свой знак: . Это возможно в потенциальном поле, для которого . В соответствии с преобразованием инверсии вводят оператор инверсии , который изменяет знаки координат волновой функции на обратные: . оператор инверсии имеет два собственных значения: . Это значит, что существуют волновые функции: , есть также волновые функции, изменяющие свой знак: . Первые функции называются четными, а вторые – нечетными. Говорят также о функциях, соответственно, с положительнойи отрицательной четностью.