Лекция 13. Магнитные свойства атомов. Опыт Штерна и Герлаха

Спин. Принцип Паули

Согласно представлениям теории Бора электрон обращается вокруг ядра по стационарной круговой орбите. С таким орбитальным движением электрона можно связать кольцевой ток, характеризующийся силой тока , – период его обращения вокруг ядра. С кольцевым током связан магнитный момент: (2.63)где – площадь орбиты электрона, – линейная скорость.Поскольку , то величина представляет собой момент импульса орбитального движения электрона. Если орбита находится в плоскости x, y, то есть z–я компонента вектора момента импульса – . Таким образом

, (2.64a)

Эти соотношения показывают, что магнитный момент и момент импульса орбитального движения пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности (2.65)- гиромагнитное отношение. Гиромагнитным отношениемназывают также безразмерную величину (2.65a)В случае орбитального движения электрона величина g = 1.

Взаимосвязь механического и магнитного моментов атомов приводит магнито-механическими эффектам. Суть в том, что если изменить направление намагничивания образца, то образец должен приобрести определенный момент импульса, и наоборот. Первые опыты по обнаружению магнитомеханических эффектов были проведены Эйнштейномиде Гаазом, а также Барнеттом, которые ставили задачу определения гиромагнитного отношения. Эксперименты показали, что вместо ожидаемого значения g = 1 величина g = 2.

Согласно квантовой механике проекции вектора момента импульса орбитального движения принимают значения . Поэтому проекции вектора магнитного момента также являются квантованными: = m m . (2.66)

Отсюда видно, что существует «квант магнитного момента»: эрг/Гс.(2.66а)

Эта величина называется магнетоном Бора.

Для магнитного момента справедлива та же картина пространственного квантования, что и для момента импульса. Эти представления о пространственном квантовании проверялись в эксперименте ШтерномиГерлахом. Идея их опыта: чтобы выявить пространственную ориентацию магнитного момента атома, необходимо использовать внешнее магнитное поле. В неоднородном магнитном поле с индукцией на магнитный момент действует сила: . (2.67)

Если выбрать направление магнитного поля за ось z, то в этом направлении на магнитный момент действует сила: . (2.67a)

Магнитный момент прецессирует вокруг направления магнитного поля, описывая конус с осью вдоль оси z. В этом случае ср знаение обращаются в нуль. Поэтому при движении пучка атомов перпендикулярно магнитному полю на них будет действовать в направлении поля усредненная сила: . (2.67б)

Величина и характер отклонения атомов, определяемые усредненной силой, зависят от возможных значений магнитного момента . По классическим представлениям эти значения непрерывно распределены в интервале от до .

Трудности эксперимента: надо было иметь сильно неоднородное магнитное поле. Его характерный масштаб неоднородности должен быть сравнимым с атомными размерами

Величина отклонения атома в неоднородном магнитном поле: . (2.67в)

Результаты опыта Штерна и Герлаха показали, что пучок атомов серебра расщепляется на две компоненты . По этой теории величина вектора момента импульса должна быть целой кратной постоянной , причем нулевое значение исключалось. Считалось, что в основном состоянии атома серебра величина , а число проекций момента импульса на выделенную ось равно двум: . Между тем этот вывод является неправильным. На это впервые указали Эйнштейн и Эренфест. Основным состоянием атома серебра, как и атомов лития, является s–состояние, для которого орбитальное квантовое число . Также основным является s–состояние для атома водорода и атомов щелочных металлов. Опыты с пучками этих атомов тоже приводят к расщеплению на две компоненты. Но в s–состоянии магнитный момент атомов отсутствует. Никакого расщепления пучка указанных атомов не должно было бы происходить. Наблюдающееся на опыте расщепление означает, что оно обусловлено не орбитальным движе-нием электронов, а другими причинами. Правильное истолкование результатов опыта Штерна и Герлаха связано с важнейшим свойством электрона – с его спином.

Для объяснения опытов Штерна и Герлаха Уленбек и Гаудсмитвыдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса (спином).Спин обладает теми же общими свойствами, что и вектор момента импульса орбитального движения:

. (2.68)

Здесь s – спиновое квантовое число, – магнитное спиновое квантовое число, которое принимает 2s+1 значений. С собственным механическим моментом импульса электрона связан магнитный момент . Согласно опытам Штерна и Герлаха, число проекций магнитного спи-нового момента равно двум, т.е. 2s + 1 = 2. (2.68a)

Спиновое квантовое число имеет полуцелое значение: (2.68б)

Часто спиновое квантовое число s также называют спином.

Из опытов Штерна и Герлаха следует, что величина спинового магнитного момента равна магнетону Бора . (2.69)

Отсюда гиромагнитное отношение . (2.69а)

Таким образом, отношение магнитного спинового момента к спину в два раза больше гиромагнитного отношения (2.65).

Спин, наряду с зарядом и массой, относится к числу фундаментальных характеристик электрона. Спином характеризуются все частицы микромира, при этом спиновое квантовое число может быть различным. Существуют частицы, для которых спиновое квантовое число является полуцелым. Это – электрон, протон, нейтрон и др. - фермионы.Есть частицы с целым спином, включая нуль - бозоны.Например, спин фотона равен единице, спин альфа–частицы равен нулю.

Все однотипные частицы, например, электроны одинаковы. Они характеризуются одной и той же величиной заряда, массы и спина.

Рассмотрим систему двух одинаковых частиц. Пусть – волновая функция, описывающая состояние этой системы. Индекс означает совокупность координат и спиновой переменной первой частицы, – то же для второй частицы, при этом переменная спина указывает значение проекции спина на выбранное направление в пространстве. Величина имеет смысл плотности вероятности того, что первая частица характеризуется переменными 1, а вторая – переменными 2. Очевидно, . (2.70)

Они являются тождественными, совершенно неотличимыми друг от друга.

Взаимный обмен переменными частиц означает, что волновая функция подвержена преобразованию под действием некоторого оператора - оператор перестановок (обменный оператор): . В случае двух частиц: . При повторном действии этого оператора восстанавливается первоначальная волновая функция: .

По общим правилам: . Действуя еще раз оператором : , т.е. . Это значит, что существуют симметричные и антисимметричные волновые функции относительно перестановки их аргументов. Волновые функции симметричны (2.71)

Волновые функции антисимметричны . (2.72)

Свойства симметрии волновой функции сохраняются со временем, т.е. система все время находится либо в симметричном, либо в антисимметричном состоянии.

Паули показал, что свойства симметрии волновых функций связаны со спином частиц и с типом статистики, описывающей т/д равновесные системы частиц. Симметричные волновые функции описывают состояния частиц с целым спином – бозонов. Эти частицы подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна. Антисимметричные волновые функции описывают состояния частиц с полуцелым спином – фермионов. Они подчиняются статистике Ферми – Дирака.

По предположению, частицы независимы друг от друга: . (2.73а)

По принципу тождественности микрочастиц другую волновую функцию:

. (2.73б)

.(2.73)

– постоянные нормировки. Если , то функция (2.73) симметрична:

. (2.74)

Если , то функция (2.73) – антисимметрична:

. (2.75)

Антисимметричную волновую функцию (2.75) можно представить в виде:

. (2.75a)

Частицы с полуцелым спином ( электрон) описываются антисимметричной волновой функцией. Это - общая формулировка принципа запрета, или принципа исключения Паули. Согласно принципу Паули – два электрона в атоме никогда не могут обладать одинаковым набором четырех квантовых чисел.