Лекция 10. Потенциальные «ямы» и «барьеры»

.

Характер решения зависит от знака величины . Например, в случае свободной частицы, потенциальная энергия которой равна нулю, волновая функция, как решение уравнения (2.20), описывает волны типа , где волновое число .При этом надо помнить о временном множителе . Если потенциальная энергия частицы не равна нулю, то при (полная энергия частицы превышает потенциальную энергию) решение также представляет собой волны, бегущие в противоположных направлениях. В случае (т.е. E<U) общее решение содержит комбинации решений вида , где .

Рассмотрим подробнее модель прямоугольной ямы. В этом случае потенциальная энергия равна нулю на некотором отрезке оси x от 0 до , и скачком обращается в бесконечность на концах этого отрезка .

. (2.21)

Найдем граничные условия для волновой функции. Обозначая , из (2.20) получим:

. (2.21a)

При правая часть в (2.21а) согласно (2.21) обращается в бесконечность.

. (2.22) (2.23)

Это уравнение с граничными условиями (2.22) представляет задачу на собственные значения. Его общее решение

, (2.24)

где A,B – постоянные, определяемые граничными условиями и условием нормировки. Из граничных условий (2.22) следует: . Таким образом, ,(2.24a)

где число Значение n = 0 исключается, так как в этом случае при всех x, т.е. такое состояние не реализуется. Из (2.24a) следует, что решение уравнения (2.23) возможно не при любых значениях энергии, а лишь при вполне определенных дискретных значениях:

. (2.25)

Необходимо еще найти собственные функции. Согласно (2.24), (2.24а) собственные функции c cобственными значениями энергии (2.25) определяются формулой

. (2.27)

Эти функции образуют ортонормированную систему, т.е. они удовлетворяют условию (2.14):

, (2.28)

Постоянная определяется из условия нормировки: . \ (2.28a)

Отсюда . Таким образом, ортонормированная система собственных функций частицы в потенциальном ящике описывается формулой: . (2.29)

Собственные функции с энергией равны . По общим правилам, выражение (2.30)

определяет плотность вероятности того, что частица находится в интервале от x до x + dx C увеличением номера n число максимумов возрастает, и они располагаются все ближе друг к другу. При достаточно больших значениях энергии максимумы сближаются настолько, что образуют почти непрерывную прямую, близкую к прямой для плотности вероятности в классическом случае. В этом состоит принцип соответствия

5. Допустим, что частица падает на барьер слева направо с энергией (рис.2.4а). Тогда при достижении точки (точки поворота) классическая частица полностью отразилась бы от барьера. Для нее область «запрещена». Для квантовой частицы, однако, имеется отличная от нуля вероятность обнару-жить ее и в «запрещенной» области (рис.2.7). Этот эффект анало-гичен известному в оптике явлению полного внутреннего отра-жениясвета на границе раздела двух разных сред. С увеличением высоты потенциального барьера область «просачивания» частицы уменьшается и при стремится к нулю. В этом случае волновая функция при обращается в нуль. Если , то классическая частица проходит такой барьер без всякого отражения. В квантовом же случае наряду с проходящей волной де Бройля имеется также отраженная от барьера волна, и можно вычислить соответствующий коэффициент отражения. Если ширина барьера конечна (рис.2.4б) и энергия падающей слева частицы меньше высоты барьера, то возникает чисто квантовый эффект просачивания частицы сквозь барьер – туннельный эффект. Этот эффект объясняет многие физические явления, такие как контактная разность потенциалов, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа–распад и др.

При рассмотрении барьерных задач важную роль играют коэффициент отраженияот барьера и коэффициент прозрачностибарьера. Коэффициент отражения определяется как отношение плотности потока отраженной волны к плотности потока падающей волны:

. (2.32)

Коэффициент прозрачности барьера определяется как отношение плотности потока волны, прошедшей через барьер, к плотности потока падающей волны:

. (2.32а)

Введенные коэффициенты удовлетворяют очевидному условию:

. (2.33)