 |
Главная |
С различными импедансами. Согласование импедансов
 2015-12-15 |
 1466 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Рассмотрим две среды с импедансами (волновыми сопротивлениями) Z1 =r1 с1 и Z2 =r2 с2, граница раздела сред имеет координату x = 0 (рис. 1-30). Волна (1) падает из первой среды. На границе раздела сред наблюдается отражение волны (2) и прохождение волны (3) во вторую среду.
Соответствующие уравнения волны в средах:
x1 = a1 
; x2 = a2 
; x3 = a3 
, где k1 и k2 - волновые числа в первой и второй среде соответственно.
Задача стоит в определении соотношения амплитуд этих волн при заданных волновых сопротивлениях сред.
На границе раздела сред смещение частиц среды справа и слева одинаково. Кроме того, силы T 
, действующие на элементы среды слева и справа, должны быть одинаковыми. В противном случае элементы среды приобретут бесконечное ускорение. Итак, из граничных условий получим следующие уравнения:
x1 + x2 = x3; T 
= T 
.
Подставим в эти граничные условия уравнения волн, получим:
a1 + a2 = a3; (31)
- k1Ta1 + k1Ta2 = - k2Ta3. (31*)
Но k1 = 
, k2 = 
, Z1 =r1 с1 = 
, Z2 =r2 с2 = 
. Поэтому (31*) запишется в виде соотношения: Z1(a1 - a2) = Z2 a3. (32)
Из уравнений (31) и (32) получим соотношения между амплитудами волн:
= 
- коэффициент отражения по амплитуде;
= 
- коэффициент пропускания по амплитуде.
При Z2 = ¥ (например, конец закрепленной струны)
= 0 и = -1,
т.е. прошедшей волны нет, отраженная волна бежит со сдвигом фазы на p радиан относительно падающей волны. При Z2 = 0 (например, свободный конец кнута) = 1, = 2.
Определим энергетические коэффициенты отражения и прохождения. Например, отрезок струны единичной массы r начинает совершать колебания с приходом волны, максимальная энергия которой равна максимальной кинетической энергии E = 
= 
Скорость переноса энергии в волне Ec = 
= 
. Имеем:
= 
- энергетический коэффициент отражения;
= 
- энергетический коэффициент прохождения.
При Z1 = Z2 энергия не отражается, т.е. импедансы сред согласованы.
Вопрос согласования импедансов имеет большое практическое значение. Например, для нормальной работы приемной аппаратуры необходимо согласование между входом приемника и антенной; согласование разного рода соединений в аппаратуре. Впрочем, рассогласование импедансов также имеет практическое применение. Например, в акустических методах контроля изделий обнаружение дефектов основывается на разности импедансов материала изделия и дефектов. Именно на дефектах наблюдается отражение зондирующих акустических сигналов из-за разности импедансов материала изделия и дефектов.
Итак, задача состоит в согласовании импедансов двух сред Z1 =r1 с1 и Z1 =r3 с3 с помощью третьей среды с импедансом Z2 =r2 с2, который поместим между средами Z1и Z1 (рис.1-31). Условие согласования запишется в виде
= 1. (33)
Выпишем уравнения прошедших и отраженных волн: x1 = a1 
; x2 = a2 
; x3 = a3 
;
x4 = b1 
; x2 = b2 
.
Воспользуемся граничными условиями для непрерывности смещения и сил при x = 0 и x = l , а также условием (33), после несложных, но довольно громоздких вычислений получаем условие согласования импедансов:
= 
(или Z2 = 
) и l = 
, где l2 = 
.
1.2.5. Волновой пакет
А. Волны, характеризуемые одной частотой и длиной волны, называются монохроматическими волнами. Монохроматическая волна является идеализацией, реальные волны состоят их группы (пакета) частотных гармоник. Например, пакет из двух волн x1 и x2 одинаковой амплитуды и близкими частотами w1 и w2 образуют так называемое биение амплитуды результирующей волны:
x1 + x2 = a cos(w1t - k1x) + a cos(w2t - k2x) =
= 2a cos 
cos 
.
Член 2acos указывает, что амплитуда волны модулирована в пространстве и времени, медленно изменяясь с частотной (w1 - w2)/2 и волновым числом (k1 - k2)/2. Максимальная амплитуда равна 2a. Скорость пакета в отсутствии дисперсии, т.е. когда фазовые скорости компонентов пакета с разными частотами одинаковы w1/k1 = w2/k2, равна
= c 
= c.
На рис. 1-32 показаны колебания среды в некоторой ее точке со временем. Аналогичный рисунок имеет профиль волны в пространстве в фиксированный момент времени.
Групповая скорость волнового пакета – это скорость распространения максимальной амплитуды пакета. При близких частотах vгр. = 
= 
= v - 
.
При 
> 0 наблюдается нормальная дисперсия, когда vгр.< v. Ситуация, когда < 0, называется аномальной дисперсией. При аномальной дисперсии наблюдается сильное поглощение энергии волны.
Б.Рассмотрим волновой пакет, состоящий из большой группы n частотных компонент в частотном диапазоне пакета Dw = w - w1. Для простоты расчета, амплитуды компонент будем считать одинаковыми и равными a.
Пусть соседние по частоте компоненты отличаются на dw, тогда частотный диапазон Dw = w - w1 = ndw. В точке среды x = 0 колебания частиц среды в поле волны будет выражаться суммой
x(t)x=0 = a cosw1t + a cos(w1 + dw)t + a cos(w1 + 2dw)t +… a cos[w1 + (n - 1)dw]t .
Соседние по частоте компоненты отличаются по фазе на величину dwt радиан и имеют одинаковые амплитуды. Поэтому данную сумму можно рассчитать, не прибегая к методу Фурье, а используя метод векторной диаграммы, т.е. геометрически складывая равные по модулю n векторов, которые повернуты относительно друг друга на один и тот же угол dwt. В результате сложения, получим: x(t)x=0 = 
cos 
= 
cos ,
где 
= w1 + 
(n - 1) dw - средняя частота диапазона Dw. При больших значенияхn уравнение для x(t)x=0 можно записать в виде:
x(t)x=0 = 
cos = 
cos , где a = 
.
В момент времени t = 0 фазаa = 0, т.е. в этот момент = na, т.к. при этом 
® 1. Амплитуда при t = 0 максимальна. С течением времени фаза a изменяется. Допустим, за время Dt фаза изменилась от нуля до p :
a = 
= p . (34)
В этом случае амплитуда равна нулю и промежуток времени 2Dt (ноль амплитуды получается и ранее при a = -p) может служить мерой ширины импульса пакета. Точнее, мерой ширины служит Dt, т.к. ширину считают на уровне половины максимальной амплитуды na/2.
Из (34) получаем соотношение:
Dn Dt = 1, т.к. Dw = 2p Dn . (34*)
Полученное соотношение (34*) называется теоремой о ширине частотной полосы волнового пакета. В частности, из (34*) следует, что чем короче во времени импульс, тем шире диапазон частот Dn импульса. При Dn = 0 (монохроматическая волна) длительность импульса стремится к бесконечности.
1.2.6. Затухание реальных волн в среде
A. При распространении упругой волны в среде всегда происходит поглощение энергии, переносимое волной. Механизм потерь энергии обусловлены процессами переноса – теплопроводностью, диффузией, вязкостью. В качестве примера получим дифференциальное уравнение диффузии (уравнение Фика), описывающее динамику этого процесса переноса. Для простоты рассмотрим одномерную задачу. Предварительно получим, исходя из закона сохранения массы, уравнение непрерывности массы среды dm = r dx на прямой 0x. Здесь r - линейная плотность среды.
Скорость потока v = 
и за время dt через левый конец прямой пройдет масса rvdt = qdt, через правый конец - (q + ¶q)dt. Изменение массы в интервале длины dx за время dt будет ¶(dm) = - ¶q dt. Разделим это выражение на dx dt и перенесем все члены в одну сторону, получим уравнение непрерывности:
+ 
= 0 или 
= 0.
Феноменологическое уравнение диффузии (закон Фика) имеет вид:
q = - c 
,
где - градиент плотности среды; c -коэффициент диффузии.
Подставим закон Фика в уравнение непрерывности, получим дифференциальное уравнение диффузии:
= 
.
В главе «Тепловые поля» получено аналогичное уравнение для явления теплопроводности (уравнениеФурье-Кирхгофа), которое для одномерного случая имеет вид: 
= 
, где a – коэффициент температуропроводности. Аналогичные уравнения получаются и для других явлений переноса, связанные с переносом массы, импульса, энергии. Подчеркнем, явления переноса на микроскопическом уровне носят случайный характер, что и обусловливает потери энергии волны.
Б.Итак, уравнения, определяющие потери энергии волны в среде вследствие разных механизмов потерь, можно записать виде общего дифференциального уравнения переноса
= 
.
При незначительных потерях энергии, т.е. когда расстояние, на которое распространяется, много больше длины волны, дифференциальное уравнение распространения можно записать в виде комбинации волнового уравнения и дифференциального уравнения переноса:
= 
+ . (35)
Решение уравнения будем искать в виде y =y0 
. Подставим это уравнение в (35), получим комплексное значение g :
= 
= k2 
.
Величина g - комплексное число, поэтому можно представить это число в виде: g = k - ia. Имеем соотношение » k2 
, если a << k. Таким образом, решение (35) принимает вид:
y =y0 
= y0 
. (36)
Амплитуда волны является функцией координаты y0 
. С увеличением расстояния от излучателя, амплитуда волны уменьшается по экспоненте. Коэффициент поглощения имеет размерность обратной длины, следовательно, можно записать, что a = 
, где l0 - расстояние в среде, по прохождении которого амплитуда волны уменьшается в е » 2,7 раз.
АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
| 2015-12-15 |
1466 |
Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Обсуждение в статье: С различными импедансами. Согласование импедансов |
|
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы