Волновое уравнение плоской волны в газе и жидкости

Волновое уравнение плоской продольной волны в газе и жидкости имеет, разумеется, тот же вид, что и уравнение струны. Напомним, плоской волной называется волна, волновые поверхности которой представляют собой плоскость. В поле продольной акустической волны элементы среды испытывают периодические сжатия и разряжения, что приводит к периодическим измерениям давления в элементах среды.

Давление в произвольный момент времени t в элементе среды:

P = p₀ + dp,

где: dp - приращение давления (избыточное давление) в данной точке среды в поле акустической волны, которое периодически изменяется во времени; p₀ - давление в среде в отсутствии волны.

Все точки среды на волновой поверхности колеблются в фазе. Пусть плоская волна распространяется в положительном направлении оси 0x. Выделим элемент среды в виде цилиндра с малой высотой dx и площадью основания S, совпадающей с волновой поверхностью (рис. 2-1). В начальный момент левый торец цилиндра выделенного цилиндра имеет координату x, правый – координату (x + dx). За время dt левый торец сместится на малую величину x, правый – на x + ¶x. Здесь ¶x – абсолютная деформация выделенного элемента среды (на рис.2-1 показано растяжение элемента). Запишем 2-й закон Ньютона для выделенного элемента среды.

Масса элемента Dm = rSdx. Под действием результирующей сил давления слева и справа возникает деформация объема: левый и правый торца сместятся на разные расстояния – левый на величину x, правый на величину (x + ¶x). Относительная деформация объема среды:

e = = = (т.к. S = const).

Смещение выделенного объема равно x. Таким образом, элемент среды приобретает ускорение a_x = . Сила давления в плоскости с координатой x равна F_x = P_xS; в плоскости (x + dx) - F_(x+dx) = P_(x+dx) S = (P_x + )S. Результирующая сила [P_x – P_(x+dx)]S = - . Теперь запишем закон динамики для выделенного элемента среды:

rSdx = - или rSdx = - . Окончательно:

r = - . (1)

Определим связь между избыточным давлением dp и относительной деформацией элемента среды . Динамический эффект сжимаемости (растяжения) объема среды под действием сил давления характеризуется модулем всестороннего сжатия K = . Приращение давления dP просто равно dp. Поэтому K = = . Знак минус указывает, что увеличение давления приводит к уменьшению объема и наоборот - уменьшение давления приводит к увеличению объема. Избыточное давление

dp = = .

Подставим полученное соотношение в уравнение (1), получим:

r = - или r = K .

Запишем последнее уравнение в форме

= . (2)

Уравнение (2) есть волновое уравнение плоской акустической волны в среде, в которой отсутствуют потери. Отношение имеет размерность обратного квадрата скорости, т.е., как и в волновом уравнении для струны, = . Итак,

фазовая скорость акустической волны

c = . (3)

Фазовая скорость определяется упругими и инертными свойствами среды. Теперь волновое уравнение можно записать в виде

= . (4)

Решение уравнения (4) (см. главу 1, §1.2.1):

x = x₀ cos (wt – kx). (5)

В комплексной форме решение запишется в виде

x = x₀ (5^*)

Скорость акустической волны в газе и жидкости. Модуль всестороннего сжатия K определяется характером процесса сжатия. Вследствие относительно малой теплопроводности газов и жидкостей Пуассон предположил, что сжатие (разряжение) элементов газа происходит адиабатически. Уравнение адиабатического процесса в идеальном газе

PV^g = const.

Имеем: V^g dP + g P V ^g-1 dV = 0 или = .

Следовательно, адиабатический модуль всестороннего сжатия газа («жесткость» газа)

K_ад = = gP или K_ад = g(p₀ + dp).

В акустическом поле обычных звуковых волн добавочное изменение давления порядка dp ~10²Па, а атмосферное давление p₀ ~10⁵Па, поэтому можно принять: P = p₀ + dp » p₀.

Плотность среды r = r₀ + dr » r₀.

Итак, адиабатическую «жесткость» газа можно считать равным

K_ад = gp₀.

Заметим, изотермическая «жесткость» K_Т = p₀, которая получается из закона Бойля-Мариотта. Адиабатическая жесткость газа в g = раз больше изотермической жесткости.

Таким образом, скорость звука в хорошем приближении можно рассчитывать по формуле:

c = = - где p₀ – атмосферное давление.

Например, для воздуха, который состоит в основном из двухатомных молекул – азота N₂ и кислорода O₂, показатель адиабаты g = = 1,4. Рассчитанное значение скорости при нормальном атмосферном давлении равно 340 м/с, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Согласование расчетных и экспериментальных данных наблюдается и для других газов (при не очень высоких частотах акустической волны). Можно считать, что сжатие и разряжение элементов газовой среды в поле акустической волны при не очень высоких частотах является практически адиабатическим процессом.

Уравнение смещения имеет вид (5^*), тогда уравнение относительной деформации среды примет вид e = = - ikx₀ = - ikx. (6)

Уравнение скорости смещения

v_x = = iwx₀ = iwx. (7)

Уравнение избыточного давления

dp = = K ikx₀ = i K kx. (8)

Обратите внимание, скорость и избыточное давление колеблются в фазе.

Акустический импеданс среды есть отношение избыточного давления dp к скорости элементов следы:

Z = = = = r₀c, т.к. c = . (9)

Уравнение (8) можно записать в виде dp = Z v_x = i r₀cwx₀ = r₀cv_0x .

В среде всегда наблюдается поглощение энергии акустической волны. Механизмами поглощения энергии средой являются процессы переноса в среде при распространении волны – теплопроводность, диффузия, вязкость. Уравнение затухающей волны имеет вид (см. главу 1, §1.2.6)

x = x₀ cos (wt – kx)

В комплексной форме решение запишется в виде x = x₀ .

Коэффициент затухания в газах и жидкостях пропорционален квадрату частоты a = bn². При небольших частотах коэффициент поглощения a = мал. Например, при частоте звука n = 10³ Гц в воздухе l₀ = 5×10⁴ м. Однако, при частоте ультразвука n = 5×10⁵ Гц ультразвуковая волна в воздухе затухает практически около излучателя (l₀ » 3×10^-2м). Отсюда следует, что скорость распространения волны также зависит от частоты.

Для жидкостей уравнение состояния в явном виде не удается представить и, в этой связи, теоретический расчет адиабатического модуля всестороннего сжатия не представляется возможным. Для жидкостей K_ад обычно определяют по экспериментальным значениям скорости звука. Для жидкостей K_ад ~ 10¹⁰ Н/м². Коэффициент затухания в жидкостях на несколько порядков меньше, чем в газе. Например, для воды на частоте n = 10⁵ Гц величина l₀ » 3×10³ м.