Начальные и центральные моменты непрерывной случайной величины, асимметрия и эксцесс. Мода и медиана

В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.

Определение. Мода непрерывной случайной величины ( Мо (X)) – это её наиболее вероятное значение, для которого вероятность p_i или плотность вероятности f(x) достигает максимума.

Определение. Медиана непрерывной случайной величины X (Me(X)) – это такое её значение, для которого выполняется равенство:

P (X < Me (X)) = P (X >Me (X)) =

Геометрически вертикальная прямая x = Me (X) делит площадь фигуры под кривой на две равные части.

В точке X = Me (X), функция распределения F (Me (X)) =

Пример:

Найти моду Mo, медиану Me и математическое ожидание M случайной величины X с плотностью вероятности f(x) = 3x², при x Î [ 0; 1 ].

Решение:

1. Плотность вероятности f (x) максимальна при x = 1, т.е. f (1) = 3, следовательно, Mo (X) = 1 на интервале [ 0; 1 ].

2. Для нахождения медианы обозначим Me (X) = b.

Так как Me (X) удовлетворяет условию P (X < Me (X)) = ,

то P (-∞ < X < b) = = =

= = b³ = .

b³ = ; b = » 0,79

3. M (X) = = + =

= = = = 0,75

Отметим получившиеся 3 значения Mo (x), Me (X), M (X) на оси Ox:

Определение. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего поряд­ка к кубу среднего квадратического отклонения:

Определение. Эксцессом теоретического распределения на­зывается величина, определяемая равенством:

где ‒ центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения . При отклоне­нии от нормального распределения асимметрия положительна, если "длинная" и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствую­щей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 1, а, б).

Эксцесс характеризует "крутизну" подъема кривой распре­деления по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс поло­жителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину.

Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дис­персии для нормального и теоретического распределений.

Пример. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти: асимметрию и эксцесс теоретического распределения.

Решение:

Найдем сначала математическое ожидание слу­чайной величины:

Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и среднее квадратическое отклонение:

Теперь по формулам находим искомые вели­чины:

В данном случае "длинная" часть кривой распределения рас­положена справа от моды, причем сама кривая является не­сколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.

Неравенство Чебышева.

Теорема.Для произвольной случайной величины Х и любого числа

Ԑ>0 справедливы неравенства:

‒ вероятность противоположного неравенства.

Пример.

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.

Решение:

Пусть X –расход воды на животноводческой ферме (л).

По условию М(Х) = 1000.

Дисперсия D(X) = . Так как границы интервала 0 X 2000 симметричны относительно математического ожидания М(Х) = 1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева:

То есть не менее, чем 0,96 .

Для биномиального распределения неравенство Чебышева примет вид:

так как M(X) = np; D(X)=npq.