Оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенного признака
1. Для оценки математического ожидания М (Х) = а нормально распределенного признака по выборочной средней и известному среднему квадратическому отклонению служит следующий доверительный интервал:
где значение аргумента интегральной функции Лапласа (в таблице № 2).
2. При исправленном среднем квадратическом отклонении S получим:
где значения в таблице № 3. 3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения при большом числе измерений имеет вид: при , при где значения в таблице № 4. Пример 1. Задана выборка значений признака X, имеющего нормальное распределение:
Найти: а) выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение s; б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание а признака X; в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,95 среднее квадратическое отклонение признака X. Решение: а) Вычисляем объем выборки: . Тогда б) Искомый доверительный интервал для математического ожидания а имеет вид: где находим по таблице приложения 2. При = 0,95 n = 10 получаем = 2,26. Тогда Таким образом, в) Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения а имеет вид: если если Соответствующие значения q указаны в таблице приложения 3. По заданным = 0,95 и n = 10 находим q = 0,65. Теперь искомый доверительный интервал запишется следующим образом: или
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И ВЫБОРУ ВАРИАНТА
1. При выполнении контрольной работы студент должен руководствоваться следующими указаниями: 2. Работа должна выполняться в тетради (в клеточку) с полями, на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, специальность, номер группы, номер варианта. 3. Задачи располагаются в порядке номеров. Перед решением надо полностью переписать условие задачи. 4. Решение задач следует излагать подробно с указанием необходимых формул. 5. Задача геометрического содержания должна сопровождаться чертежом, выполненным аккуратно с указанием осей координат и единиц масштаба. 6. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Если преподаватель установит несамостоятельность выполнения работы, то она не будет зачтена. 7. Студент должен исправить все недочеты и ошибки, указанные преподавателем в прорецензированной работе, после чего пройти собеседование по контрольной работе. 8. Вариант определяется по двум последним цифрам шифра по схеме: 1. По предпоследней цифре учебного шифра зачетной книжки выбирается номер строки; 2. По последней цифре учебного шифра зачетной книжки выбирается номер столбца; 3. На пересечении строки и столбца находится номер варианта. 9. Зачтенная контрольная работа является допуском студента к экзамену или зачету. Для решения задач необходимо изучить следующие вопросы: 1) .Основные понятия и теоремы теории вероятностей. 2) Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли, Муавра – Лапласа, Пуассона. 3) Случайные величины и их числовые характеристики. 4) Основные законы распределения. 5) Основные понятия математической статистики. 6) Понятие оценки параметров. Методы нахождения оценок.
Задание №1. №№ 1-10.Три орудия производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для каждого из них равны соответственно m, n, k. Найти вероятность того что: а) в цель попадёт только одно орудие; б) в цель попадут только два орудия; в) в цель попадёт хотя бы одно орудие. 1. n=0,7; m=0,9; k=0,8. 6. n=0,65; m=0,7; k=0,9. 2. n=0,6; m=0,9; k=0,9. 7. n=0,8; m=0,6; k=0,85. 3. n=0,8; m=0,8; k=0,7. 8. n=0,7; m=0,75; k=0,9. 4. n=0,75; m=0,6; k=0,8. 9. n=0,85; m=0,6; k=0,7. 5. n=0,9; m=0,7; k=0,75. 10. n=0,95; m=0,8; k=0,65. №№ 11-20.Три студента участвуют независимо друг от друга в олимпиаде по математике. Вероятности победы для каждого из них равны соответственно m1, m2, m3. Какова вероятность того, что: а) победит только один студент; б) победу разделят два студента; в) победит хотя бы один студент.
№№ 21-30. Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны k1, k2, k3. Найти вероятность того, что разыскиваемая формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) хотя бы в одном справочнике.
Задание №2. №№ 1-10.Из урны, содержащей n белых и m красных шаров наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что: а) оба шара красные; б) один шар белый, другой – красный; в) хотя бы один шар белый.
№№ 11-20.В академической группе обучается n студентов, среди которых m девушек. На уборку территории выбирают произвольно трёх студентов. Какова вероятность того, что: а) все три студента - юноши; б) два студента – юноши, один студент – девушка; в) хотя бы один студент – юноша.
№№ 21-30.В коробке находиться n одинаковых изделий, причём m из них окрашены. Найти вероятность того, что среди двух извлечённых наугад изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.
Задание №3. В вычислительной лаборатории имеются m автоматов и n полуавтоматов. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчёта автомат не выйдет из строя, равна p′; для полуавтомата эта же вероятность равна p″. Студент производит расчёт на удачу выбранной машине. Определить вероятность того, что до окончания расчёта выбранная машина не выйдет из строя. Задание №4. №№ 1 – 8. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, близка к - р1, во втором месте – р2, в третьем месте – р3. Известно, что рыбак забросил удочку один раз. Какова вероятность, что он поймал рыбу в первом из излюбленных мест? 1. р1 = 0,13; р2 = 0,14; р3 = 0,12 2. р1 = 0,23; р2 = 0,12; р3 = 0,13 3. р1 = 0,12; р2 = 0,14; р3 = 0,34 4. р1 = 0,15; р2 = 0,13; р3 = 0,23 5. р1 = 0,14; р2 = 0,34; р3 = 0,25 6. р1 = 0,35; р2 = 0,13; р3 = 0,12 7. р1 = 0,45; р2 = 0,23; р3 = 0,15 8. р1 = 0,13; р2 = 0,23; р3 = 0,25 №№ 9 – 16. Студент может купить билет в одной из трёх касс автовокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, примерно равна – 0,12, ко второй – 0,13, к третей – 0,16. Вероятности того, что билетов уже нет в кассах, примерно такие: в первой кассе – р1, во второй – р2, в третей – р3. Какова вероятность того, что он купил билет? Определить вероятность того, что он купил билет во второй кассе? 9. р1 = 0,15; р2= 0,16; р3= 0,18. 10. р1 = 0,25; р2= 0,13; р3= 0,14. 11. р1 = 0,35; р2= 0,12; р3= 0,38. 12. р1 = 0,45; р2= 0,23; р3= 0,17. 13. р1 = 0,16; р2= 0,25; р3= 0,27. 14. р1 = 0,14; р2= 0,18; р3= 0,35. 15. р1 = 0,13; р2= 0,16; р3= 0,15. 16. р1 = 0,12; р2= 0,13; р3= 0,14.
№№ 17 – 24 Семена для посева в хозяйство поступают из трёх семеноводческих хозяйств. Причём первое и второе хозяйство присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства – р1, второго – р2, третьего – р3. 1) Определить вероятность того, что наудачу взятое семя не взойдёт. 2) На удачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства? 17. р1 = 90%; р2 = 85%; р3 = 95% 18. р1 = 80%; р2 = 93%; р3 = 82% 19. р1 = 78%; р2 = 94%; р3 = 85% 20. р1 = 87%; р2 = 89%; р3 = 79% 21. р1 = 91%; р2 = 93%; р3 = 86% 22. р1 = 92%; р2 = 88%; р3 = 77% 23. р1 = 97%; р2 = 83%; р3 = 88% 24. р1 = 90%; р2 = 81%; р3 = 84%
№№ 25 – 30. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трёх магазинов. Вероятность того, что покупатель приобретёт товар в первом магазине равна – р1, втором – р2, в третьем – р3. Определить вероятность того, что покупатель приобретёт товар в каком – либо магазине. Покупатель приобрёл товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине? 25. р1 = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0,8 26. р1 = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0,8 27. р1 = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0,8 28. р1 = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0,8 29. р1 = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0,8 30. р1 = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0,8 Задание №5. №№ 1-10.Всхожесть семян данного растения составляет p%. Какова вероятность того, что из n посеянных семян взойдут: а) m семян; б) не менее m семян.
№№ 11-20. В водоёме лососи составляют q%. Найти вероятность того, что из n пойманных в этом водоёме рыб окажется: а) m лососей; б) не более m лососей.
№№ 21-30. В партии деталей число бракованных составляет p%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу n деталей не бракованные окажутся: а) m деталей; б) менее m деталей.
Задание №6. №№ 1-6.Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна p. Найти наивероятнейшее число попаданий в серии из n выстрелов и вычислить вероятность соответствующего события. 1. p=0,2 n=5 2. p=0,3 n=6 3. p=0,35 n=4 4. p=0,25 n=7 5. p=0,4 n=3 6. p=0.15 n=8 №№ 7-12.Всхожесть семян растения данного сорта составляет m%. Посеяли n семян. Найти наивероятнейшее число всходов и вычислить вероятность соответствующего события. 7. m=90 n=8 8. m=80 n=5 9. m=95 n=6 10. m=85 n=7 11. m=70 n=4 12. m=75 n=9 №№ 13-24.На склад поступило n ящиков, содержащих стеклянные изделия. Вероятность того, что в любом ящике окажется битое изделие, равна p. Найти наивероятнейшее число ящиков, содержащих неповреждённые изделия и вычислить соответствующего события. 13,19. p=0,75 n=8 14,20. p=0,4 n=6 15,21. p=0,55 n=7 16,22. p=0,6 n=9 17,23. p=0,7 n=10 18,24. p=0,65 n=11 №№ 25-30.Вероятность того, что любой из лотерейных билетов окажется выигрышным, равна p. Приобретено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных среди них, и вычислить вероятность соответствующего события. 25. p=0,3 n=6 26. p=0,45 n=7 27. p=0,55 n=8 28. p=0,4 n=10 29. p=0,5 n=9 30. p=0,35 n=11
Задание №7. №№ 1-10.Баскетболист забрасывает штрафной примерно с вероятностью p. Какова вероятность того, что среди n бросков будут удачными: а) все броски; б) не менее k1 и не более k2 бросков. 1. n=20 p=0,8 k1=15 k2=18 2. n=18 p=0,7 k1=10 k2=15 3. n=12 p=0,85 k1=8 k2=12 4. n=20 p=0,6 k1=16 k2=19 5. n=18 p=0,9 k1=14 k2=18 6. n=19 p=0,8 k1=13 k2=16 7. n=16 p=0,75 k1=11 k2=15 8. n=20 p=0.3 k1=4 k2=10 9. n=15 p=0,5 k1=5 k2=9 10. n=19 p=0,45 k1=7 k2=11 №№ 11-20.Вероятность рождения девочки равна p. Чему равна вероятность того, что среди n новорождённых: а) все девочки; б) не менее k1 и не более k2 девочек. 11. n=30 p=0,485 k1=13 k2=18 12. n=32 p=0,48 k1=10 k2=20 13. n=29 p=0,49 k1=10 k2=18 14. n=26 p=0,495 k1=8 k2=14 15. n=31 p=0,475 k1=12 k2=16 16. n=33 p=0,47 k1=13 k2=17 17. n=34 p=0,46 k1=12 k2=19 18. n=35 p=0,465 k1=14 k2=20 19. n=36 p=0,45 k1=12 k2=17 20. n=33 p=0,455 k1=13 k2=16 №№ 21-30.Вероятность того, что саженец ели прижился, и будет расти примерно равна p. Посажено n саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут: а) все посаженные ели; б) не менее k1 и не более k2 елей.
21. n=400 p=0,8 k1=300 k2=340 22. n=420 p=0,75 k1=310 k2=320 23. n=350 p=0,9 k1=300 k2=330 24. n=300 p=0,85 k1=240 k2=270 25. n=320 p=0,95 k1=290 k2=318 26. n=450 p=0,7 k1=290 k2=330 27. n=500 p=0,65 k1=315 k2=335 28. n=440 p=0,55 k1=222 k2=262 29. n=480 p=0,5 k1=220 k2=260 30. n=380 p=0,6 k1=200 k2=256 Задание №8. Две независимые дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины W=2X – 3Y 1. X -3 -7 1 2 Y 2 4 Y 0,1 0,2 0,2 0,5 P 0,7 0,3 2. X -3 2 6 4 Y 3 6 Y 0,3 0,3 0,2 0,2 P 0,8 0,2 3. X -5 1 2 4 Y 2 4 Y 0,2 0,3 0,1 0,4 P 0,6 0,4 4. X -4 0 2 5 Y 3 5 Y 0,1 0,5 0,2 0,2 P 0,2 0,8 5. X -2 -1 3 7 Y 1 6 Y 0,1 0,3 0,3 0,3 P 0,3 0,7 6. X -3 -1 0 2 Y 0 4 Y 0,2 0,3 0,4 0,1 P 0,9 0,1 7. X -5 -2 3 2 Y 1 7 Y 0,1 0,6 0,1 0,2 P 0,4 0,6 8. X -4 -1 3 8 Y 2 3 Y 0,1 0,3 0,5 0,1 P 0,7 0,3 9. X -7 0 1 2 Y -4 4 Y 0,5 0,1 0,1 0,3 P 0,3 0,7 10. X -2 -1 0 1 Y -3 4 Y 0,4 0,4 0,1 0,1 P 0,2 0,8 11. X -8 -6 -1 5 Y -2 1 Y 0,6 0,1 0,2 0,1 P 0,8 0,2 12. X -7 -4 0 3 Y -4 3 Y 0,3 0,3 0,1 0,3 P 0,1 0,9 13. X -2 0 1 4 Y -6 3 Y 0,3 0,2 0,3 0,2 P 0,4 0,6 14. X -6 -3 -2 3 Y -8 2 Y 0,1 0,2 0,4 0,3 P 0,7 0,3 15. X -5 -4 -2 2 Y -3 3 Y 0,1 0,3 0,4 0,2 P 0,6 0,4 16. X -2 -1 3 4 Y -4 0 Y 0,2 0,2 0,2 0,4 P 0,9 0,1 17. X -3 3 4 6 Y 0 3 Y 0,1 0,2 0,3 0,4 P 0,2 0,8 18. X -6 -2 1 2 Y -1 3 Y 0,3 0,3 0,2 0,2 P 0,7 0,3 19. X -2 -1 1 2 Y 1 3 Y 0,6 0,1 0,1 0,2 P 0,4 0,6 20. X -4 -3 0 4 Y -2 3 Y 0,3 0,5 0,1 0,1 P 0,5 0,5 21. X -6 -5 3 4 Y 0 3 Y 0,2 0,2 0,2 0,4 P 0,4 0,6 22. X -7 -2 2 7 Y -3 0 Y 0,2 0,4 0,1 0,3 P 0,5 0,5 23. X -3 -2 3 4 Y -4 1 Y 0,3 0,4 0,1 0,2 P 0,6 0,4 24. X -7 0 1 3 Y -1 1 Y 0,3 0,2 0,3 0,2 P 0,4 0,6 25. X -4 -3 0 4 Y 0 3 Y 0,5 0,3 0,1 0,1 P 0,9 0,3 26. X -5 -2 2 6 Y -3 1 Y 0,3 0,2 0,4 0,1 P 0,5 0,5 27. X -9 0 1 2 Y -3 0 Y 0,7 0,1 0,1 0,1 P 0,7 0,3 28. X -6 -5 -4 2 Y -1 4 Y 0,2 0,6 0,1 0,1 P 0,2 0,8 29. X -1 0 3 4 Y -1 7 Y 0,3 0,1 0,3 0,3 P 0,9 0,1 30. X -4 -3 -2 8 Y -4 2 Y 0,5 0,1 0,2 0,2 P 0,3 0,7 Задание №9 В задачах 1 – 30 задана выборка значений нормально распределённого признака X (даны значения признака xi и соответствующие им частоты ni). Найти: а) выборочную среднюю x и исправленное среднее квадратическое отклонение s; б) доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a признака X; в) доверительный интервал, покрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонение g признака X (надёжность оценки во всех вариантах считать равной y=0,95). 1. xi -3 1 2 4 5 7 ni 1 2 2 3 2 4 2. xi -5 -2 3 4 6 7 ni 2 3 1 3 4 5 3. xi -3 -2 1 2 4 6 ni 3 2 2 4 5 1 4. xi -5 -4 2 4 7 8 ni 1 2 4 5 4 3 5. xi -6 -4 -3 2 3 5 ni 2 4 6 1 3 5 6. xi -2 -1 1 3 5 6 ni 1 2 4 6 3 1 7. xi -7 -6 -4 2 3 5 ni 1 3 5 3 4 2 8. xi -3 -2 1 4 5 7 ni 2 4 6 1 3 3 9. xi -5 -2 -1 2 4 6 ni 1 4 6 5 1 3 10. xi -6 -2 -1 3 5 7 ni 1 2 4 4 5 1 11. xi -3 1 4 5 7 8 ni 4 2 3 5 1 1 12. xi -3 -2 1 3 4 7 ni 1 4 4 3 5 1 13. xi -3 -1 3 4 5 6 ni 2 4 5 4 3 2 14. xi -5 -4 1 3 6 8 ni 2 3 3 4 3 1 15. xi 2 4 5 7 8 9 ni 1 4 3 3 4 1
16. xi -2 -1 1 3 5 6 ni 2 2 3 1 4 5 17. xi -1 2 3 5 7 9 ni 2 3 5 5 1 1 18. xi -5 -4 6 7 8 9 ni 3 3 1 4 2 2 19. xi -4 -2 -1 3 5 6 ni 1 5 5 4 3 1 20. xi -2 -1 2 4 5 7 ni 1 5 5 1 3 3 21. xi -4 -2 -1 2 3 7 ni 1 4 4 3 1 2 22. xi -5 -3 -1 2 4 7 ni 2 1 1 4 3 2 23. xi -3 -2 1 3 5 8 ni 1 2 4 3 2 1 24. xi -4 -3 2 3 4 6 ni 2 4 3 5 2 2 25. xi -3 -1 2 4 5 6 ni 1 3 4 5 2 1 26. xi -6 -3 -1 2 3 5 ni 2 4 5 4 3 2 27. xi -5 -4 2 4 7 8 ni 1 3 3 5 4 2 28. xi -3 -2 1 4 5 7 ni 1 4 6 5 1 3 29. xi -1 2 3 5 7 9 ni 1 4 3 3 4 1 30. xi -6 -4 -3 2 3 5 ni 2 4 5 1 1 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЧАСТЬ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЧАСТЬ 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЧАСТЬ 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ЧАСТЬ 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ЧАСТЬ 2 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ЧАСТЬ 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3495)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |