Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли
Пусть производится серия из n ‒ независимых испытаний (опытов), в каждом из которых событие A наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие A не произойдет, обозначим: q=1 ‒ p. Вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие произойдет ровно m ‒ раз, находится по формуле Бернулли:
‒ формула Бернулли. Пример. Вероятность попадания мяча в кольцо составляет: Вероятность промаха мяча в кольцо составляет Найти: 1. Вероятность того, что при 7 бросках мяч попадет 4 раза (событие A). 2. Вероятность того, что мяч попадет не менее 4-х раз, то есть или , или , или , или . Решение:
Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов). Определение.Число наступления события A в n ‒ независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события, по крайней мере, не меньше вероятностей других событий. Наивероятнейшее число наступления события (число успехов) удовлетворяет следующему неравенству: где ; вероятность наступления события в отдельном испытании. Пример.Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали . Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди пяти отобранных и выбрать среди них наивероятнейшее число бракованных деталей. Решение: 1 способ. вероятность изготовления стандартной детали. ; вероятность появления брака. Тогда Следовательно, наивероятнейшее число бракованных деталей . 2способ. Оценим с помощью неравенства: Следовательно, , множество целых чисел.
Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная). При большом значении n применение формулы Бернулли затруднительно. Тогда используют формулу Муавра‒ Лапласа. Муавр доказал частный случай для p =1/2. где
‒ функция Лапласа, значения в таблице № 1. если , Пример. Установлено, что 94% лиц, которым сделали прививку от туберкулеза, приобретают иммунитет. Найти вероятность того, что среди 100 000 граждан, которым делали прививки, 5800 не защищены от туберкулеза. Решение:
Интегральная формула Лапласа. Если требуется найти вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие наступит не меньше a ‒ раз и не больше b ‒ раз, то применяют интегральную формулу Лапласа: , где
‒ интегральная функция Лапласа, значения в таблице № 2. Ф(‒х) = ‒ Ф(x) ‒ функция нечетная. При х Пример. Из каждых 100 семей 80 имеют телефоны. Найти вероятность того, что: 1. Из каждых 400 семей 300 имеют телефоны. 2. От 300 до 360 семей из каждых 400 имеют телефоны. 3. Не менее 360 семей из 400 семей имеют телефоны ( ) Решение: 1.
2. 3. Так как , то
Формула Пуассона. Если p (начинается с сотых долей), то формула Муавра ‒ Лапласа дает большую погрешность по сравнению с формулой Бернулли. В этом случае пользуются формулой Пуассона:
где λ= np‒ параметр Пуассона, где ≤ 10. Пример. На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что 1-е сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета? Решение: Вероятность того, что день рождения студента 1-го сентября ‒ мала, n = 1825 ‒ велико, λ = np = 5 ≤ 10. Следовательно, воспользуемся формулой Пуассона:
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (705)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |