Тема 3. Системы эконометрических уравнений

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 4], Л2 [Гл. 3], Л3 [Гл. 9].

Примеры с решениями.

Пример 1.Изучается модель вида:

Данная система из трех уравнений содержит три зависимые, эндогенные ( , , ) и четыре независимые, экзогенные ( , , , ) переменные.

В структурной форме (СФМ) для нахождения параметров модели и (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели(ПФМ).

Параметры приведенной формой модели могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели и . Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.

Структурные формы модели могут быть

– идентифицируемые;

– неидентифицируемые;

– сверхиндетифицируемые.

Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом, если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнениитри эндогенных переменных: , , (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=Hвыполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных и взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны и , соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные

Во втором уравнении две эндогенные переменные: и (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=Hвыполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	–1

Определитель представленной в таблице 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: , , (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=Hвыполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели.

Пример 2. Рассмотрим КМНК на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 4.

Таблица 4.

Фактические данные для построения модели

n	у1	у2	х1	х2
	33,0	37,1
	45,9	49,3
	42,2	41,6
	51,4	45,9
	49,0	37,4
	49,3	52,3
Сумма	270,8	263,6
Средн. знач.	45,133	43,930	7,500	10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

где u₁ и u₂ – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней и ( и – средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 4 сведены в таблицу 5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов .

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n	Y1	Y2	X1	X2	Y1×X1	X12	X1×X2	Y1×X2	Y2×X1	Y2×X2	X22
	‑12,133	‑6,784	‑4,500	0,667	54,599	20,250	‑3,002	‑8,093	30,528	‑4,525	0,445
	0,767	5,329	‑0,500	5,667	‑0,383	0,250	‑2,834	4,347	‑2,664	30,198	32,115
	‑2,933	‑2,308	‑0,500	‑1,333	1,467	0,250	0,667	3,910	1,154	3,077	1,777
	6,267	1,969	2,500	‑1,333	15,668	6,250	‑3,333	‑8,354	4,922	‑2,625	1,777
	3,867	‑6,541	2,500	‑9,333	9,667	6,250	‑23,333	‑36,091	‑16,353	61,048	87,105
	4,167	8,337	0,500	5,667	2,084	0,250	2,834	23,614	4,168	47,244	32,115
Сумма	0,002	0,001	0,000	0,002	83,102	33,500	‑29,001	‑20,667	21,755	134,417	155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ = 2,822 и d₁₂ = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для нахождения коэффициентов d_2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения d₂₁ = 1,668 и d₂₂ = 1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем из второго уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b₁₂ = 0,335; a₁₁ = 2,264.

Найдем из первого уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b₂₁ = 0,591; a₂₂ = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

,

.

Окончательный вид структурной модели

Пример 3.Изучается модель вида:

Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение.

1. Модель имеет три эндогенные (у₁, у₂, у₃) и три экзогенные (х₁, х₂, х₃) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (у₁, у₃), отсутствующих экзогенных – 1 (x₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у₂ и x₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
y2	X2
Второе	–1	a22
Третье	b32

DetA = -l×0 - b₃₂×a₂₂ ¹ 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 (y₁, y₂, y₃), отсутствующих экзогенных – 2 (x₁, x₃).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x₁ и x₃. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
x1	x3
Первое	a11	a13
Третье	a31	a33

DetA = a₁₁×a₃₃ - a₃₁×a₁₃ ¹ 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y₂, y₃), отсутствующих экзогенных – 1 (x₂).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют y₁ и x₂. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
y1	x2
Первое	–1
Второе	b21	a22

DetA = -l×a₂₂ - b₂₁×0 ¹ 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

.

Данное выражение содержит переменные y₃, x₁ и x₃, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

Þ

– первое уравнение СФМ:

2) во втором уравнении СФМ нет переменных x₁ и x₃. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим x₁ в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x₃, которого нет в СФМ.

Выразим x₃ из третьего уравнения ПФМ:

.

Подставим его в выражение x₁:

;

.

Второй этап: аналогично, чтобы выразить x₃ через искомые y₁, y₃, и x₂, заменим в выражении x₃ значение x₁ на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно,

.

Подставим полученные x₁ и x₃ во второе уравнение ПФМ:

– второе уравнение СФМ.

3) из второго уравнения ПФМ выразим x₂, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

.

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

– третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид