Статистические характеристики вариационных рядов

После того как статистическая информация представлена наглядно, приступают к изучению свойств исследуемой совокупности. В первую очередь обрабатываемые данные представляют в виде сравнительно небольшого числа сводных характеристик. Эти характеристики являются функциями от исходных данных и называются статистиками. Важнейшими статистическими характеристиками рядов распределений являются средние. Опять упоминаем об аналогии с числовыми характеристиками случайных величин – математическое ожидание является средним взвешенным значением CB (весами являются вероятности); дисперсия (среднее квадратичное отклонение) также является средней величиной и характеризует разброс значений CB относительно своего математического ожидания.

Средняя арифметическая определяется по формуле

, (1)

где n=n₁+n₂+....+.n_к - число наблюдений, - различные варианты признака Х, а n₁,...n_к -соответствующие частоты; - относительные частоты. Средняя арифметическая интервального вариационного ряда вычисляется как средняя арифметическая соответствующего ему дискретного вариационного ряда. Для его получения интервалы заменяют их средними значениями и к ним относят соответствующие интервальные частоты.

Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все варианты увеличить на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится на то же число, коротко это можно записать так: .

Свойство 2. Если все варианты умножить на одно и то же число, то и средняя арифметическая умножится на это число: .

Этими двумя свойствами средней арифметической иногда пользуются на практике для облегчения вычислений.

Средние величины не отражают изменчивости (или вариацию) наблюдаемых значений признака. Этой цели служат различные показатели вариации. Простейшим является упоминавшийся вариационный размах . Более содержательными показателями являются те, которые определяют меру рассеяния значений признака вокруг средних величин, в частности, среднего арифметического.

Определение. Эмпирической или выборочной дисперсией S²(n) называется средняя арифметическая (взвешенная) квадратов отклонений n результатов наблюдений от их средней арифметической:

Выборочная дисперсия S²(n) имеет размерность квадрата признака, поэтому в качестве меры рассеяния удобнее брать выборочное среднее квадратическое отклонение S(n), равное корню квадратному из выборочной дисперсии.

Отметим свойства выборочной дисперсии.

Свойство 1. Если все результаты наблюдений увеличить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.

Свойство 2. Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число , то эмпирическая дисперсия умножится на число L².

Свойство 3. Эмпирическую дисперсию удобно вычислять по формуле, = т.е. она равна среднему арифметическому квадратов вариантов минус квадрат среднего арифметического вариантов, .

Пример 3. Для признака в примере 1. вычислить среднюю арифметическую , выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для вычислений используем таблицу 2.

Выборочная дисперсия признака, представленного в виде интервального вариационного ряда, вычисляется для соответствующего ему дискретного вариационного ряда.

Пример 4. Для признака в примере 2 вычислить среднюю арифметическую, выборoчную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Обратимся к таблице 3 и для вычислений числовых характеристик заменим каждый интервал его средним значением. В результате получим:

.

Выборочную дисперсию вычислим по формуле:

Итак, (117) =108,8, (117) =168,76, S(117) =13.

Для сравнения изменчивости вариационных рядов, имеющих разную размерность и разные абсолютные значения вариантов, применяются относительные показатели вариации, являющиеся безразмерными величинами.

Определение. Коэффициентом вариации V называется отношение выборочного среднего квадратического отклонения S к среднему арифметическому (взвешенному) признака Х. Его обычно выражают в процентах:

.

Использование коэффициента вариации имеет смысл для признака, принимающего только положительные значения. Если значения признака колеблются около нуля, т.е. близко к нулю, то коэффициент вариации может принимать большие значения (даже равняться бесконечности) лишь за счет малости знаменателя и, таким образом, не являться показателем изменчивости.