Выборочный коэффициент корреляции

После выбора вида уравнения регрессии и определения параметров этого уравнения должна быть решена вторая проблема корреляционного анализа, которая состоит в выяснении силы или, как говорят, тесноты связи между признаками Х и Y. Ранее мы видели, что эту задачу решает дисперсионный анализ, причем можно заметить, что методы дисперсионного анализа никак не учитывают форму связи признаков. В этом состоит сила дисперсионного анализа - с его помощью можно оценивать тесноту связи для любого вида уравнения регрессии. Вместе с тем в этой общности заключается и недостаток методов дисперсионного анализа, поскольку они не позволяют судить о том, насколько близко расположены точки, соответствующие экспериментальным данным к кривой определенного вида, например, к прямой регрессии на . Тесноту именно линейной зависимости признака Y от признака Х характеризует выборочный коэффициент корреляции r, который вводится следующим образом.

Вернемся к уравнению (19) прямой регрессии на , в котором коэффициент регрессии представим в виде:

, (20)

где .

Выражения, стоящие под радикалами, есть выборочные средние квадратические отклонения признаков Х и Y:

.

Выборочным коэффициентом корреляции r называется выражение вида:

(21)

Таким образом, уравнение прямой регрессии имеет вид

(22)

Отметим свойства коэффициента корреляции, которые позволяют использовать его для оценки тесноты линейной зависимости признака Y от Х.

Свойство 1. Абсолютная величина коэффициента не превосходит единицы:

(23)

Свойство 2. Выполнение условия r=±1 необходимо и достаточно для того, чтобы Y и Х были связаны линейной функциональной зависимостью.

Свойство 3. Если признаки X и Y связаны линейным уравнением регрессии, а коэффициент корреляции равен нулю, то все групповые средние признака Y одинаковы. В этом случае говорят, что между Х и Y нет линейной корреляционной зависимости.

Замечание. Если выборочный коэффициент равен нулю, то отсюда следует отсутствие у признаков Х и Y лишь линейной корреляционной связи. Однако при этом не исключается наличие нелинейной корреляционной (и даже функциональной!) зависимости.

Свойство 4. Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной корреляционной связи признаков: чем ближе к единице, тем теснее значения признака Y «ложатся» на прямую регрессии на ; чем ближе к нулю; тем связь слабее.

На практике для характеристики тесноты линейной корреляционной зависимости признаков используют так называемую шкалу Чеддока:

диапазон изменения	до 0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	выше 0,9
характеристика тесноты связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Необходимо, однако, высказать некоторые замечания относительно абсолютизации коэффициента корреляции в качестве оценки тесноты связи.

Коэффициент корреляции используется и в теории вероятностей, когда речь идет о совместном распределении случайных величин Х и Y. Доказывается, что если , то случайные величины зависимы. Для случайные величины некоррелированы, но не обязательно независимы. Исключение составляет случай двумерного нормального распределения.

В матстатистике при практической интерпретации выборочного коэффициента корреляции следует быть осторожными , чтобы не получить ошибочных выводов.