Расчет момента инерции

J = mr² – момент инерции тела с сосредоточенной массой m, находящегося на расстоянии r от оси вращения.

J=ròr²dV – момент инерции, r - плотность тела, V – его объем.

Задача

Найти момент инерции однородного стержня длиной L и массой m, отклоненного от оси на угол a.

Пример решения

O Выделим на стержне элемент dm, находящийся на

lрасстоянии r от конца стержня. Тогда длина элемента

dm dm равна dr. Если масса стержня m = rLS, то dm=rSdl.

r a J=rSòr²dl. Под знаком интеграла у нас получились две

переменные r и l. Из треугольника находим их связь

r=l sina. Тогда dr=dl sina или dl= dr/sina.

J = =mL²/3sina.

Варианты

2.1. Определить с помощью интегрального выражения момент

инерции однородного стержня массой m и длиной L относительно

оси, проходящей через конец стержня. Стержень

перпендикулярен оси вращения.

2.2. Определить с помощью интегрального выражения момент инерции однородного кольца массой m и радиусом R. Плоскость кольца перпендикулярна оси вращения.

2.3. Два однородных стержня длиной L₁ и L₂ и массой соответственно

m₁ и m₂ скреплены Т- образно под прямым углом. Определить

с помощью интегрального выражения момент инерции всей

системы относительно оси, проходящей через конец первого

стержня перпендикулярно ему. Второй стержень оказывается

параллельным оси вращения и находится на расстоянии L₁ от

этой оси.

2.4. Найти с помощью интегрального выражения момент инерции однородной пластины массой m и размером а х в относительно оси, лежащей в плоскости пластины и проходящей посредине стороны а.

2.5. Определить с помощью интегрального выражения момент

инерции однородного cтержня массй m и длиной L относительно

оси проходящей через центр стержня и перпендикулярной ему.

Квантовое строение атома водорода

<r>= - среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода. W= y² 4pr² dr - вероятность обнаружения электрона в атоме водорода. y - волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме водорода.

- среднее квадратичное расстояние электрона от ядра в атоме водорода. < = r y² 4pr² dr – средний квадрат расстояния электрона от ядра в томе водорода.

Задача

Волновая функция, описывающая s – состояние электрона в атоме водорода имеет вид y (r)= Ce^-r/a , где r – расстояние электрона от ядра, а – первый боровский радиус. Определить из условия нормировки (вероятность обнаружения электрона во всем пространстве вокруг ядра равна единице) постоянную С.

Пример решения

y® = Ce^-r/a Условие нормировки на единицу. Вероятность

обнаружения электрона W= y² 4pr² dr=4pC^{2 =1.}

С = ? Интегрируем по частям. ^{=- 2 )=}

=а ^{=- )=}

4pС^{2 =1, то есть С=1/ .}

Варианты

3.1. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид . Определить расстояние r , на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

3.2. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид . Определить среднее расстояние электрона от ядра.

3.3. Определить вероятность того, что электрон находится внутри облака, ограниченного сферой радиуса, равного боровскому радиусу а.

3.4. Определить вероятность того, что электрон находится вне облака, ограниченного сферой радиуса, равного боровскому радиусу а.

3.5. Найти среднее квадратичное расстояние электрона от ядра, если собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид .