Задачи на состав числа

Задачи, представленные в этом разделе, требуют знаний о записи десятичной формы числа. Известно, что в десятичной форме последняя цифра числа указывает число единиц, вторая цифра справа – число десятков, третья цифра справа – число сотен, четвертая цифра справа – число тысяч и т. д. Так, число 2584 содержит 4 единицы, 8 десятков, 5 сотен, 2 тысячи. Этот состав можно отразить в виде суммы 2584 = 2·1000 + 5·100 + 8·10 + 4·1. Поскольку при решении задач число единиц, десятков, сотен и т. д. приходится обозначать различными буквами, то для отличия десятичной записи числа от произведения произвольных чисел принято рисовать сверху черту. Например, запись означает, что рассматривается трехзначное число, которое можно записать в виде суммы

Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к нему прибавить 54, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти первоначальное число.

Решение. Обозначим искомое число

тогда

Кроме того, известно, что

Запишем эти соотношения в виде системы уравнений:

Ответ: искомое число 39.

Замечание. В задачах на состав числа обычно предполагается, что речь идет о натуральных числах, поэтому специально это обстоятельство не оговаривается. Тем не менее авторы вынуждены заметить, что иногда составители задач специально не указывают множество натуральных чисел для того, чтобы абитуриенты рассмотрели также вариант решения для целых отрицательных чисел. Так, если в представленной задаче учитывать отрицательные числа, еще одним искомым числом могло быть число –93, поскольку составляющие его цифры 9 и 3 в сумме дают 12, а сумма чисел (–93) и 54 равна (–39), т. е. числу, записанному теми же цифрами, что и первоначальное, но в обратном порядке. Поэтому, встретив подобную задачу в варианте ЕГЭ, учащийся должен выбирать ответ среди натуральных чисел, а на экзамене в вуз или предметной олимпиаде необходимо задать уточняющий вопрос экзаменатору по условию задачи.

Задача 2. Сумма цифр трехзначного числа равна 12, а сумма цифр его сотен и десятков кратна 9. Если же из искомого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Решение. Пусть искомое число тогда по условию задачи где n – натуральное число 1 или 2, в силу того что а и b однозначные числа, и

Первое и последнее соотношения приводят к уравнению

откуда , или

Кроме того, известно, что ,поэтому перейдем к системе уравнений:

Из последнего уравнения системы следует, что цифра с кратна трем, а поскольку с > 0, то число (4 – 3 n) > 0, поэтому n = 1. Теперь последнюю систему можно переписать в виде:

 

Ответ: искомое число 453.

Задача 3. Шестизначное число начинается с цифры 1. Если эту цифру записать крайней справа, сохраняя порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.

Решение. Пусть искомое число:

тогда по условию задачи,

и

Учитывая, что запишем уравнение ,

Немного преобразуем полученное равенство:

.

Число во внутренних скобках обозначим

тогда или Теперь можно записать результат

Ответ: искомое число 142857.

Задача 4. Сумму всех четных двузначных чисел разделили на одно из них, кратное 9. Получившееся частное отличается от делителя только порядком цифр. Найти делитель.

Решение. В данной задаче нам понадобится понятие арифметической прогрессии. Здесь мы используем только основные формулы. Более подробно о прогрессиях можно узнать из разд. 9, посвященного именно этой тематике.

Четные двузначные числа 10,12, 14, 16, …, 98 образуют арифметическую прогрессию, в которой первый член, а = 10, разность прогрессии d = 2, а количество членов прогрессии n = 45.

Сумма n членов арифметической прогрессии

поэтому, согласно условию задачи,

 

Полученную величину разделим на двузначное число о котором известно, что откуда где k принимает значения либо 1, либо 2, поскольку слагаемыми являются однозначные натуральные числа. Частным от деления является число Запишем исходные данные в систему:

 

 

 

 

 

Если

то откуда,

либо либо

Если же предположить, что k = 2, то получим систему

тогда и что противоречит условиям задачи. Следовательно, делителем может быть либо число 45, либо число 54.

Ответ: делителем является число 54 или число 45.

Задача 5. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число.

Решение. Напомним правило деления с остатком. Если в результате деления числа а на число b > 0 в частном получим число q, а в остатке число r, то справедливо соотношение

где

Пусть искомое двузначное число

Запишем исходные данные задачи в систему

и решим ее:

 

Из последнего уравнения получим или

Первое равенство приводит к системе:

Поскольку b > 0, то b = 3, тогда a = 6. Рассмотрим теперь случай который приводит к аналогичной системе уравнений: из которой следует, что a = 3 и b = 6.

Ответ: искомым может быть число 63 или число 36.

Разные задачи

Довольно большое количество задач не удается систематизировать и отнести к какому-либо определенному разделу. Это задачи самой разнообразной тематики, включающие как использование неравенств, так и подбор решения исходя из условий и многое другое. Подбор приведенных ниже задач не претендует на полноту, но, как надеются авторы, будет полезен учащимся при подготовке к самым разнообразным контрольным испытаниям по математике.

Задача 1. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из второго , а третий кусок, в котором было всей ткани, продали весь. Сколько процентов ткани продано, если всего осталось ее вдвое меньше, чем было во втором куске?

Решение. Пусть в первом куске первоначально было х метров ткани, во втором – y метров ткани, а в третьем – z метров ткани. Для удобства рассуждений составим таблицу

Таблица 3

Количество ткани в м.

Описание объекта	Первоначальное количество, м	Продано, м	Остаток, м
1-й кусок ткани	х		0,5 х
2-й кусок ткани	у
3-й кусок ткани	z	z

 

Остаток составил половину второго куска, поэтому , а количество проданной ткани в процентном отношении к первоначальному объему составляет:

Выражение, которое должно привести к конечному результату, содержит три неизвестные величины, а для его решения имеется только одно уравнение, содержащее два неизвестных. Но на самом деле ситуация не так плоха, поскольку мы можем уменьшить число неизвестных, используя данные задачи. Поскольку в третьем куске было всей ткани, то первый и второй кусок в совокупности составляют всей ткани. Следовательно,

Выразим х через y из первого уравнения тогда

Теперь подставим полученные значения для х и z в искомое выражение:

.

Ответ: было продано 75 % ткани.

Задача 2. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее количество домов станет более 24, а если увеличить вдвое количество пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько построено пятиэтажных домов и сколько девятиэтажных?

Решение. Предположим, что пятиэтажных домов было построено х штук, а девятиэтажных домов y штук.

Тогда справедлива система неравенств кроме того, из условий задачи следует, что

Задача сводится к решению системы неравенств в натуральных числах. Можно решить эту задачу графически. Подробное изложение этого метода можно найти в разд. 8. Область на плоскости ХОУ, удовлетворяющая системе неравенств, изображена на рис. 2.1. Координаты точек А(8,8), В(9,9), С(10,7) позволяют определить, что единственной точкой с целыми координатами внутри области оказывается точка (9,8). Таким образом, х = 9, у = 8.

 

Рис. 2.1. Графическое решение задачи.

 

Тот же самый результат можно получить, если решать систему неравенств аналитически, не применяя графический метод.

Как известно, неравенства одного знака можно складывать, сохраняя знак неравенства. А неравенства разных знаков можно вычитать, сохраняя знак уменьшаемого. Выполнив эти действия с неравенствами системы, получим следующие соотношения:

и .

Первое из неравенств позволяет предполагать два возможных варианта: или Если выполняется первый вариант то согласно второму условию т. е.

А так как х > 8, то единственный возможный вариант х = 9. Тогда Подстановка значений в каждое из неравенств исходной системы приводит к верному числовому неравенству. Это означает, что пара х = 9 и у = 9 является решением системы неравенств. Аналогичные рассуждения для варианта приводят к паре х = 9 и у = 7, но при этом не выполняется неравенство Следовательно, единственным решением будет х = 9 и у = 8.

Ответ: в квартале построено 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных домов.

Задача 3. Число учащихся в классе, повысивших свою успеваемость, заключено в пределах от 2,7 до 3,2 % от общего числа учащихся. Каково наименьшее число учащихся в классе?

Решение. Пусть х – число учащихся в классе, тогда количество учеников, которые стали учиться лучше, находится в пределах от 0,027х до 0,032х. Поскольку величина у, удовлетворяющая неравенству представляет собой натуральное число, которое надо выбрать так, чтобы значение х было минимальным из возможных, то следует предположить, что у = 1. Тогда для х получаем систему неравенств: или

Наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству, равно 32.

Ответ: в классе 32 учащихся.

Задача 4. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский и 23 знают оба языка. Сколько человек в группе не знают ни английского, ни французского?

Решение. В данной задаче рассматриваются операции с множествами. Удобно при решении таких задач использовать диаграммы, представляя каждое множество в виде круга.

Обозначим множество всех туристов буквой Т, множество туристов, знающих английский язык – буквой А, множество туристов, знающих французский язык – буквой Ф.

 

Рис. 2.2.Графическое решение задач.

Тогда множество туристов, знающих оба языка представляет собой пересечение множеств А∩Ф, что на рис. 2.2 представлено в виде общей части кругов А и Ф, которая содержит 23 элемента. Теперь нетрудно посчитать, что множество туристов, знающих только английский язык – это разность множеств А и А∩Ф, а их количество равно Аналогично количество туристов, знающих только французский язык, равно Таким образом, 47 туристов знают только английский язык, 22 туриста – только французский язык, 23 туриста знают оба языка, а оставшиеся человек не знают ни одного из этих языков.

Ответ: 8 человек не знают ни английского, ни французского языков.

Задача 5. Нанята бригада плотников. Если бы они явились на работу все вместе, то выполнили бы ее за 5 ч. Но они приходили друг за другом через равные промежутки времени. Первый работал в m раз больше последнего. Сколько времени работал последний плотник?

Решение. В данной задаче предполагается, что производительность всех плотников одинаковая. Поскольку объем работы неизвестен, считаем его равным единице. Пусть производительность каждого плотника составляет х единиц продукции в час, а общее число работников в бригаде равно n. Тогда справедливо равенство Промежуток времени между приходами плотников на работу обозначим за y часов, а количество времени, которое затратил на работу последний из пришедших плотников – за z. Теперь проследим за временем работы первого плотника. К моменту прихода второго работника бригады первый трудился y часов, когда появился третий – время работы первого составило 2y часов, четвертый плотник пришел на работу, когда первый проработал 3y часов, а к моменту прихода последнего время работы первого составило часов. Совместный труд всех плотников еще в течение zчасов завершил работу.

Таким образом, первый плотник работал в течение

часов и

Из последнего равенства следует, что

Суммируя части работы, выполненные каждым из плотников, получим:

Преобразуем полученное выражение:

Используем формулу суммы арифметической прогрессии

Объединим полученные равенства в систему:

из которой следует или

Ответ: последний плотник работал в течение

часов.

Замечание. Теперь, когда задача уже решена, очевидно, что некоторые неизвестные можно было не вводить.