Примеры выполнения заданий

Пример 1. Доказать тождество:

Решение. Для доказательства тождества выполним действия в левой части равенства:

 

 

2)

3)

4)

=

5)

Левая часть выражения равна правой части: 1 = 1. Тождество доказано.

Замечание. При доказательстве тождеств, как правило, производится преобразование сразу всего выражения, а не по действиям.

Пример 2. Доказать тождество:

Доказательство:

 

Левая часть выражения равна правой части: 0 = 0. Тождество доказано.

Пример 3. Доказать тождество:

 

Доказательство:

 

Левая часть выражения равна правой части: 0 = 0. Тождество доказано.

Пример 4. Найти значение выражения:

Если а = 16, b = 1.

Варианты ответов: 1) 6; 2) –2; 3) 4; 4) 2.

Решение. Преобразуем данное выражение, заметив, что в числителе дроби – разность квадратов:

 

Вычислим значение при а = 16; .

Ответ: правильный вариант ответа – четвертый.

Пример 5. Вычислить: .

Решение. Приведем выражение к общему знаменателю и выполним действия:

 

.

Ответ: 13.

Пример 6. Упростить если

 

Варианты ответов: 1) 2) ; 3) 4) .

Решение. .

Ответ: правильный вариант ответа – третий.

Пример 7. Вычислить: .

Решение. Поскольку , то

.

Кроме того, поэтому . Следовательно,

Ответ: 10.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать тождества:

 

1)

 

2)

 

3)

 

4)

2. Найти значение выражения:

если а = 9, b = 16.

Варианты ответов: 1) 7; 2) 11; 3) 13; 4) 1.

Ответ: правильное значение – первое.

3. Упростите выражение: .

 

Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3) 2

4)

Ответ: правильное значение – третье.

4. Вычислить:

Ответ: 81.

Замечание. Следует иметь в виду, что .

5. Найти значение выражения:

.

Ответ: 0.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Теоретические сведения

Задачи на составление уравнений, или текстовые задачи, условно разделяют на несколько типов: задачи на движение, задачи на совместную работу или планирование, задачи расчета и составления смесей, задачи на оптимальное решение и др. В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся типы задач и методы их решения. В материалах Единого государственного экзамена по математике задачи на составление уравнений встречаются, как правило, в заданиях раздела Б. Несмотря на то, что задания указанного раздела не требуют развернутого ответа, основные этапы решения задачи (введение переменных, составление и решение уравнений) надо провести достаточно аккуратно, чтобы получить желаемый результат. Варианты традиционных экзаменов и олимпиад предполагают подробное решение задачи с указанием всех промежуточных выкладок.