Показательные уравнения

Функция вида , где а – положительное число, не равное единице, называется показательной. Свойства показательной функции:

1)область определения – множество всех действительных чисел,

2) область значений – множество всех положительных чисел,

3) если

4) если

5) тогда и только тогда, когда

6) , если

График показательной функции приведен на рис. 4.1.

 

X

Y

Рис. 4.1. График показательной функции.

 

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

Уравнения вида где

равносильны уравнению Если то решением являются все значения х, принадлежащие одновременно областям определения функций f (x) и g (x). Аналогично в случае а = 0,

 

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. поэтому урав­нение можно записать в виде:

Ответ: x = 6.

Уравнения вида можно, заменив свести к квадратному (или линейному при А = 0) уравнению:

Пример 2. Решить уравнение :

Решение.

Обозначим тогда

По теореме Виета

не удовлетворяет условию поэтому у = 25.

откуда х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.

Обозначим тогда

По теореме Виета

Если то

если то

Ответ: или

 

Уравнения вида делением на b^2х приводят к виду:

а затем заменой сводят к квадратному уравнению

 

Пример 4. Решить уравнение :

Решение .

Разделим почленно уравнение на 9^2х:

Обозначим тогда

_,

Если y = 1, то если

то

Ответ: или

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Поскольку то . Следовательно, если обозначить то исходное уравнение примет вид .

Уравнение имеет два корня

и .

При , получим уравнение,

или , откуда , х = 4.

Если ,то получим уравнение,

Ответ: х = 4, х = –4.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Примеры аналогичного типа предлагаются в вариантах ЕГЭ в разделе С. Поэтому решение должно быть достаточно подробным с указанием всех переходных моментов. Перепишем уравнение в виде

преобразуем и введем замену и Теперь уравнение примет вид

Такие уравнения называются однородными и всегда имеют нулевые решения причём если то и .

В силу замены, которую мы произвели, и поэтому можно почленно разделить уравнение либо на а², либо на b². Разделим на b² и получим: .

Пусть , тогда , , .

Если , то , и ,

откуда , , , .

Если ,то , и

или , откуда

Ответ:

Замечание. В вариантах ЕГЭ иногда требуют пояснить переход от равенства к равенству непрерывностью и монотонностью показательной функции.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Выражение в правой части может принимать значения либо 1, либо (–1). Левая часть уравнения представляет собой квадрат некоторого действительного числа, поэтому не может принимать отрицательных значений. Следовательно, и правая часть уравнения неотрицательна.

В силу этих рассуждений откуда Обозначим тогда или

Значение не удовлетворяет условию поэтому

Заменив получим квадратное уравнение

Если то

Если , то

Ответ: