Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке
Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке конечное число критических точек (точек, в которых производная обращается в нуль или не существует). Тогда функция на отрезке достигает своего наибольшего (соответственно, наименьшего) значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в критической внутренней точке этого отрезка. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , следует первоначально убедиться, что функция на отрезке непрерывна, а затем: 1) найти значения функции на концах отрезка, т. е. вычислить ; 2) с помощью производной найти критические точки, принадлежащие интервалу и вычислить в них значение функции; 3) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Решение. Найдем значение функции на концах отрезка: Функция определена и непрерывна на отрезке . Найдем критические точки: ; Отрезку принадлежит только значение х = 0. Вычислим значение функции в этой точке: Ответ: выбор из полученных значений показывает, что наибольшим значением функции на отрезке является, а наименьшим . Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Решение. Вычислим значения функции на концах отрезка: Определим критические точки: Решим полученное тригонометрическое уравнение: или В интервал попадает лишь значение .
В интервал попадают значения . Найдем значения функции в критических точках:
Ответ: среди полученных значений наибольшим является , а наименьшим будет Замечание. При решении примера 2 были использованы формулы: ; Пример 3. Найти значения, которые может принимать сумма квадратов действительных корней уравнения: Решение. Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант больше нуля либо равен нулю. Решим неравенство Корнями уравнения или являются числа и . Неравенство выполняется на отрезке . Для нахождения суммы квадратов корней уравнения воспользуемся теоремой Виета, согласно которой Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы, получим С учетом второго уравнения имеем, Установим, в каких пределах заключено выражение , т. е. найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Определим критические точки: при Вычислим значения этой функции на границах отрезка и в критической точке: +30= Таким образом, сумма квадратов действительных корней уравнения =0 может принимать значения, заключенные в интервале Ответ: . Замечание. В данном примере можно было заметить, что представлено в виде Тогда очевидно, что наименьшим будет значение в точке а наибольшим (в силу симметрии функции относительно – значение в точке . При решении текстовых задач на экстремум необходимо «перевести» задачу на язык функций. При этом выбрать неизвестный параметр х и выразить интересующую нас величину как функцию После чего найти наибольшее и наименьшее значения этой функции в области ее определения или на указанном отрезке. Пример 4. Стороны прямоугольника равны 5 и 10. Через произвольную точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 12. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.
Рис. 6.1. Графическое представление задачи. Решение. Пусть MN прямая, отсекающая прямоугольный треугольник. Обозначим AM = x и AN = y (рис. 6.1). Нам необходимо найти наименьшее значение площади S фигуры MBCDN: По условию задачи периметр треугольника AMN равен 12, т. е. Выразим из данного уравнения y, отделив корень и возведя обе части уравнения в квадрат:
Запишем формулу площади искомой фигуры как функцию от х: где
Вычислим производную данной функции: Производная равна нулю, если Это уравнение имеет два действительных корня: и , причем не принадлежит заданному интервалу. Получили одну точку , в которой функция имеет минимум, так как при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс. Других точек экстремума нет, значит, в точке функция принимает наименьшее значение. Найдем это значение: Ответ: Замечание. Поскольку наименьшее значение площади фигуры MBCDN соответствует наибольшему значению площади треугольника AMN, то задачу можно было решать относительно максимума функции на отрезке при .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (913)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |