Логарифмические уравнения
Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить числоb. Обозначается и по определению Если основание логарифма а =10 или а = е, то употребляется специальная запись: – десятичный логарифм, – натуральный логарифм. Функция называется логарифмической, она является обратной функцией для показательной функции , . График логарифмической функции изображен на рис. 4.2.
Рис. 4.2. График логарифмической функции. Свойства логарифмической функции: 1)область определения – множество всех положительных чисел, ; 2) область значений – множество всех действительных чисел, 3) если х = 1, то 4)если то , где 5)если , то ; 6) если то Свойства логарифмов: 1) ; 2) 3) 4) 5) 6) 7) Зная свойства логарифмов, можно выполнять тождественные преобразования. Пример 1. Вычислить:
Решение. Применяя формулы 1–4, находим
Пример 2. Выразить через а и b, если известно, что Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем . Пример 3. Вычислить:
15 Решение. Так как и то 15 Пример 4. Упростить выражение: Решение. 1. Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Простейшие логарифмические уравнения – уравнения вида: решением которых является Уравнения вида: где равносильны уравнению При решении уравнений, содержащих логарифмы в показателе степени, бывает полезно прологарифмировать обе части уравнения по основанию этого логарифма. Следует заметить, что при решении логарифмических уравнений надо указывать область допустимых значений переменной. Пример 5. Решить уравнение: Решение. Область допустимых значений Так как ,то По второму свойству логарифмов, Обозначим тогда По теореме Виета Если то Если то Ответ: или Замечание. При решении показательных и логарифмических уравнений полезно сделать проверку.
Пример 6. Решить уравнение: Решение. Областью допустимых значений является решение системы неравенств: т. е. Поскольку 8 и 16 являются степенями двойки, то переходим к логарифмам по основанию 2:
Обозначим тогда Если то если то Ответ: или Пример 7. Решить уравнение: Решение. Областью допустимых значений является множество решений неравенства Поскольку решить такое неравенство трудно, то после решения уравнения сделаем проверку и посмотрим, удовлетворяют ли корни уравнения области допустимых значений. Поскольку то Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений. Если то Eсли то Оба корня удовлетворяют области допустимых значений. Ответ: или .
Пример 8. Решить уравнение: Решение. Область допустимых значений . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 3: Если то Если то Оба корня удовлетворяют области допустимых значений. Ответ: или Последующие примеры не являются логарифмическими уравнениями, но содержат логарифмы. Примеры такого рода часто встречаются в вариантах ЕГЭ в частях В и С.
Пример 9. При каких значениях х соответственные значения функций: будут отличаться менее чем на 2? Решение. Для ответа на вопрос требуется решить неравенство: учитывая область допустимых значений уравнения т. е. . Раскрывая знак модуля, получим: или Дальнейшие преобразования приводят к следующим результатам: что равносильно системе неравенств Полученный результат не противоречит области допустимых значений. Ответ: Пример 10. Решите неравенство: Решение. Прежде всего заметим, что выражение в левой части неравенства неотрицательно, поэтому решение возможно лишь в случае, когда и правая часть неотрицательна, т. е. или , откуда В силу этого Тогда исходное неравенство приобретает вид: откуда Последнее неравенство может иметь решение в единственном случае, когда Перепишем уравнение в виде и сделаем замену Тогда . Если то что не удовлетворяет условию Если то . Ответ: .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (716)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |