Предел функции в точке
Определение: Последовательностью называется функция натурального аргумента , , ,…, ,…, ,… . Причем если , то следует за , независимо от того, больше он его или меньше. Последовательность чисел называется сходящейся к числу , если для любого положительного, сколь угодно малого числа (эпсилон) найдется такой номер , что для всех номеров будет выполняться неравенство . Пишут . Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что за пределами – окрестности точки находится лишь конечное число членов последовательности , а внутри этой окрестности находится бесконечное множество членов последовательности и при число будет сгустком точек, соответствующих членам последовательности. Определение: Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число (дельта), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство . Пишут . Теоремы о пределах функций: если существует и , то 1) ; 2) ; 3) ; 4) при . При вычислении пределов используются два замечательных предела: 1) (первый замечательный предел); 2) (второй замечательный предел). Определение: Функция называется бесконечно малой в точке , если . Определение: Функция называется бесконечно большой в точке , если . Теорема: Если – бесконечно большая функция, то – бесконечно малая функция. Если – бесконечно малая и – бесконечно малая функция в точке и , то и эквивалентны. Пишут ~ . Примеры. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя: а) . Разделим числитель и знаменатель на высшую степень х, т. е. на , ; б) . Выделим в знаменателе дроби критический множитель : ; в) ; г) = . Определение: Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в точке , равный значению функции в точке , т. е. . Иными словами, функция непрерывна в точке , если выполняются равенства: (*) Односторонние пределы функции в точке равны значению функции в точке . Определение: Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но неравные односторонние пределы функции в точке . Разность между правым и левым пределами называется скачком. Определение: Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует. Определение: Точка называется точкой разрыва устранимого, если существует предел функции в этой точке, не равный значению функции в точке .
Пример. Исследовать функцию на непрерывность и построить график: . Решение: Функция является непрерывной на каждом из промежутков, поэтому подозрительными на разрыв являются точки и . Исследуем каждую точку. 1) . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции при
,
значение функции в точке равно: . Следовательно, в точке функция является непрерывной, так как . 2) . Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок равен .
Определение: Пусть функция задана на некотором множестве . Зафиксируем значение аргумента и придадим ему приращение , не выводящее значение аргумента за пределы множества , т. е. . Тогда соответствующее приращение получит и сама функция, которое равно разности нового и старого значений функции: . Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке . Пишут , или . (6) Если существует во всех точках множества , то является функцией от . Таблица производных основных элементарных функций Если является дифференцируемой, то выполняются равенства: 1. где 2. где 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. . Основные правила дифференцирования: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Если и , т. е. , то , где и и φ – дифференцируемы. 8. Если для функции существует обратная дифференцируемая функция , то . Задача. Найти производную функции 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение: 1) поэтому по формуле (8) (см. таблицу производных) . 2) 3) . 4) Определение: Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т. е. . Обозначают . Определение: Производной n-го порядка функции называют производную от производной (n – 1)-го порядка данной функции. Обозначают .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (609)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |