Формула Симпсона (формула парабол) (n–четное)

, где .

Остаточный член имеет вид .

Задача. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 10 и оценить остаточный член.

 

Решение: Оценим остаточный член.

, , , ,

.

имеет наибольшее значение на при х = 1, m = 5,

.

Составим таблицу значений, запишем ординаты с четными и нечетными номерами в разные столбцы:

 

i	xi	xi2	yi, i=0, 10	y2m	y2m–1
	0,0	0,00	1,000		1,0101
	0,1	0,01
	0,2	0,04		1,0407	1,0942
	0,3	0,09
	0,4	0,16		1,1735	1,2840
	0,5	0,25
	0,6	0,36		1,4333	1,6323
	0,7	0,49
	0,8	0,64		1,8965
	0,9	0,81			2,2479
	1,0	1,0	2,7188

 

Суммы: у₀ + у₁₀ = 3,7188,

åу_2m = 5,44,

åу_2m–1 = 7,2685.

По формуле Симпсона получаем: ; округляем до четырех знаков, окончательно получим .

Задача.Решить систему дифференциальных уравнений с помощью составления характеристического уравнения

.

Решение: Фундаментальную систему решений будем отыскивать в виде ; , тогда , . Подставим полученные значения в систему уравнений:

.

Составим характеристическое уравнение или

(1 – к)² – 4 = 0 1 – к = ±2, откуда 1 – к = –2, к = 3 или 1 – к = 2, к = –1.

При к = –1 получим систему уравнений . Пусть , тогда , откуда , – фундаментальная система решений.

При к = 3 получим систему уравнений: . Пусть , тогда , откуда , .

Общее решение системы уравнений запишется в виде:

Задача. Разложить в степенной ряд по степеням x решение дифференциального уравнения , записать первые три, отличных от нуля, члена разложения.

Решение: .

Продифференцируем исходное уравнение не менее двух раз.

 

,

,

.

 

Имеем: , , , , подставим полученные значения в степенной ряд: , получим приближенное решение дифференциального уравнения .

Задача. Записать уравнение кривой, проходящей через точку P (1,2), для которой площадь треугольника, образованного радиус-вектором любой точки кривой касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

 

 

 

– произвольная точка кривой. ОМ – радиус-вектор. МА – касательная к кривой. Известно, что . Найти уравнение кривой.

 

Решение:

, так как , то . Из имеем: или , тогда . Площадь треугольника ОМА равна , и, так как по условию задачи , получим уравнение . Решим это уравнение, выполнив некоторые преобразования , , , последнее уравнение – линейное, первого порядка относительно , поэтому используем подстановку ; ; ; ; ; ; , ; ; ; .

Итак, .

По условию задачи кривая проходит через точку Р (1, 2), поэтому С = 0, так как 1 = 2С + 1; следовательно, искомая кривая имеет вид или xy = 2 – гипербола.

 

2.2. Методические указания и решение типового варианта

Контрольной работы № 4

Элементы теории поля

Основными понятиями являются: градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция.

Определение: Полем называется область некоторого пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.

Определение:Если каждой точке М области V соответствует определенное число j = j(М), то говорят, что в области V задано скалярное поле.

Определение:Если каждой точке М из области V соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле.

Если функция j(М) ( ) не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным, а поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным.

В трехмерном пространстве каждой точке М области можно поставить в соответствие либо ее координаты (х, y, z), либо радиус-вектор . Следовательно, скалярное поле j можно задать как функцию трех переменных j (х, y, z) или как функцию одной переменной j ( ).

Определение: Множество точек поля, в которых скаляр j имеет одно и то же значение, называется поверхностью уровня поля j (х, y, z) = С, где C = const.

Так как функция поля однозначна, то через каждую точку поля М (х₁, y₁, z₁) проходит единственная поверхность уровня j (х, y, z) = j( х₁, y₁, z₁).

Пусть М – произвольная точка пространства, где задано поле j = j(х, y, z). Производной функции j в точке М в направлении любого вектора называется предел отношения приращения Dj = j(М₁) – j(М) к Dr, при Dr®0 (М₁®М), т. е.

 

, обозначают .

Производная характеризует скорость изменения функции (поля) в заданной точке М в направлении вектора .

Если > 0, то функция j возрастает в направлении вектора , если < 0, то функция j убывает в направлении вектора .

 

½ ½ – есть мгновенная скорость функции j в направлении вектора .

 

= + + , где , , – направляющие косинусы вектора .

Определение: Градиентом функции j (х, y, z) обозначают gradj , называют вектор, координатами которого являются значения частных производных функции j (х, y, z) в точке М (х, y, z):

gradj = + + , где , , – единичные векторы, или gradj=( ; ; ).

Направление градиента совпадает с направлением наибыстрейшего роста функции (поля), следовательно, наибольшая скорость изменения поля j в точке М равна

êgradjê= .

Перечислим свойства градиента.

Теорема:Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

1) grad(u + v) = gradu + gradv,

2) grad(cu) = cgradu, c = const,

3) grad(uv) = u gradv + v gradu,

4) grad = ,

5) gradF(u) = .

Векторное поле

Определение: Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора поля. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

Векторная линия описывается системой

.

Пусть векторное поле образовано вектором . К понятию векторного поля приводит физическая задача, изучающая поля скоростей текущей жидкости. Некоторая поверхность z находится в этом потоке и пропускает жидкость. Найдем количество жидкости, протекающей через поверхность z. Разобьем эту поверхность на n частичных областей произвольным образом S₁, S₂, ... ,S_n и выберем в каждой части области некоторую точку М_i, в которой построим единичный вектор нормали . За единицу времени через S_i протекает количество жидкости, приближенно равное , где – высота i-того цилиндра, а – площадь i-той площади. Но является проекцией вектора на нормаль : , следовательно, общий объем жидкости, протекающий через поверхность S за единицу времени, равен приближенно: . Точное значение этой величины получим, перейдя к пределу при неограниченном увеличении числа частичных площадок. Если – диаметр площади, то

.

Определение: Предел суммы элементарных потоков через частичные области, на которые разбивается область S, когда число частичных областей неограниченно растет при условии, что наибольший из диаметров площади неограниченно убывает, называется потоком векторного поля через поверхность S.

Определение: Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности

или .

Замечание.Поток вектора есть величина скалярная, равная объему жидкости, протекающей через поверхность S за единицу времени.

Если поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем, то , в этом случае за направление вектора берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри. Так как , то .