Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Пусть производится n одинаковых независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной p. Тогда вероятность частоты m наступления события А определяется, как было показано ранее по формуле Бернулли:

.

Вычисление по этой формуле трудно практически осуществить при n > 20.

В таких случаях применяют асимптотическую формулу, позволяющую найти указанную вероятность. Теорема, выражающая эту формулу, носит название локальной теоремы Муавра – Лапласа.

Теорема. Если производится n одинаковых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна p, то вероятность того, что данное событие появится m раз, определяется по формуле

, где ; .

Эта теорема дает приближение биномиального закона распределения к нормальному при p, значительно отличающемся от нуля и единицы.

Задача. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 250 деталей отличного качества.

Решение: По условию n = 400, p = 0,75 , q = 0,25 и m = 280, откуда npq = 75, х = –2,3095.

По таблицам (t) найдем (–2,31) = (2,31) = 0,0277. Искомая вероятность равна Р = 0,0032.

Интегральная теорема Лапласа

Для вычисления вероятности того, что частота m, подчиненная биномиальному закону распределения, заключена между данными значениями и , применяют интегральную теорему Лапласа, выраженную асимптотической формулой. Формулу, выражающую интегральную теорему Лапласа, можно получить из закона нормального распределения.

Теорема. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и 0 < p < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

= ,

где , и .

При больших значениях n наиболее вероятная частота совпадает с математическим ожиданием частоты. Поэтому для нахождения вероятности того, что абсолютная величина отклонения частоты от наиболее вероятной частоты не превосходит заданного числа > 0, используют приближенное равенство:

.

Формула Пуассона

Если вероятность события р (или q) в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний n, но небольшой величине произведения np (меньше 10), применяют асимптотическую формулу Пуассона

,

где .

Задача. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение 1 ч работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 ч работы устройства придется пять раз менять микросхему?

Решение: По условию, n = 1000, p = 0,004, а = 1000 • 0,004 = 4 < 10. Для нахождения вероятности P1000(5) воспользуемся формулой Пуассона, так как условия ее применения выполнены. Имеем

0,1582.

Задача. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение: Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Так как р = 1/365 – мала , n = 1825 – велико и l = n • р = 1825 × (1/365) = 5 £ 10, то применяем формулу Пуассона:

.