Пример выполнения расчёта трёхшарнирной арки

    Требуется рассчитать симметричную арку ( рис. 2.65 ) согласно заданию, изложенному на с. 110, при следующих исходных данных: очертание оси арки – круговое; 

l = 60 м ; f / l = 1 / 6 ;

q = 8 кН / м ; F₁ = 40 кН;

F₂ = 18 кН; M = 40 кН ∙м.

Определение опорных реакций

    а) вертикальные составляющие реакций опор:

S m_A = 0 V_B = S m_{A, F} / l = (q ∙15∙7,5 + F₁∙15 – M + q ∙20∙50 + F₂∙54)/60 =  

                  = 177,2 кН;

S m_B = 0 V_A = S m_{B, F} / l = (q ∙20∙10 + F₁∙40 + M + q ∙15∙52,5 + F₂∙6)/60 = 

                  = 160,8 кН;

    Проверка: S y = 0 ( ? ) 177,2 – 8 ∙15 – 40 – 8 ∙20 – 18 +160,8 = 0;   

    б) распор:

(160,8 ∙20 – 8 ∙20∙10 –18 ∙ 6)/10 =168,4 кН;

    Проверка: ( ? )  168,4 ∙ 10 –160,8 ∙30 + 8 ∙15∙22,5 +

                                                                        + 40 ∙10 + 40 = 0.

Вычисление внутренних усилий в заданном сечении K

    Предварительно по формулам из таблицы на с. 111 находим

радиус кривизны оси арки r, а затем – ординату y_K центра тяжести сечения K ( при x_K = 15 м ) и угол q_K его наклона к вертикали:

v  r = f / 2 + l ² / ( 8f ) = 10/2 + 60²/(8∙10) = 50 м;

v  = 7,697 м;

v q_K = arcsin [( l / 2 – x_K ) / r ] = 0,3047 рад ( = 17˚27" ). 

    Далее для использования формул ( 2.20 ) – ( 2.22 ) определяем балочные усилия M_{0, K} и Q_{0, K} в сечении K₀ балки того же пролёта, что и рассматриваемая арка, при такой же нагрузке ( рис. 2.66, б ), реакции которой V_{0, A} и V_{0, B} – такие же, как реакции V_A и V_B арки:

M_{0, K} = 160,8 ∙15 – 8 ∙15∙7,5 = 1512 кН∙м; Q_{0, K} = 160,8 – 8 ∙15 = 40,8 кН.

      Находим изгибающий момент,  поперечную и продольную

силы в сечении арки ( учитываем, что sin q_K = 0,3; cos q_K = 0,9539):

      M_K = M_{0, K} – H∙y_K = 1512 – 160,8∙7,697 = 215,83 кН∙м;

Q_K = Q_{0, K} ∙cos q_K – H∙sin q_K = 40,8∙0,9539 – 168,4∙0,3 = – 11,60 кН;

N_K = – [Q_{0, K} ∙sin q_K + H∙cos q_K] = – [ 40,8∙0,3 + 168,4∙0,9539 ] =

                                                       = – 172,88 кН.

Построение эпюр внутренних силовых факторов в арке     

    Назначив расчётные сечения арки с шагом Dx = l / 8 = 7,5 м, используем компьютерную программу ARKA кафедры строительной механики НГАСУ (Сибстрин) для отыскания усилий M, Q и N в арке. В исходных данных следует указать:

– фамилия, инициалы: Sebeshev VG; номер группы: 300;

– очертание оси – окружность; арка симметричная;

– наличие затяжки – нет; расположение опор – на одном уровне;

– длина пролета l = 60; стрела подъёма  f = 10; шаг сечений Dx = 7,5;

– число сосредоточенных нагрузок – 2;  моментов – 1;  равномер-

но распределённых нагрузок – 2; треугольных нагрузок – 0;

– координаты и значения нагрузок ( положительные F и q – вниз,

M – по ходу часовой стрелки ):

*)  В случае приложения момента M бесконечно близко  справа  от шарнира С следовало бы задать     aM = l / 2 + 0,001.

F₁ = 40; a_F1 = 20;    F₂ = 18; a_F2 = 20;    M = – 40; a_M = 29,999^*);  

q₁ = 8; a_q1 = 0 (начало);  b_q1 = 15 (конец);  

q₂ = 8; a_q2 = 40 (начало); b_q2 = 60 (конец).  

    Результаты компьютерного счёта:

 

 

РАДИУС КРИВИЗНЫ ОСИ АРКИ R = 50.0000

ОПОРНЫЕ РЕАКЦИИ: ВЕРТИКАЛЬНЫЕ  VA = 160.8000 VB = 177.2000 РАСПОР H = 168.4000

№ сечения	Абсцисса сечения X (м)	Ордината сечения Y (м)	Угол наклона сечения Т (rad)	Внутренние силовые факторы в сечении
				Изгибающий момент М	Поперечная cила Q	Продольная cила N
1	0.000	0.000	0.6435	0.0000	27.6000	– 231.5993
2	7.500	4.651	0.4668	197.6996	14.2373	– 195.7460
3	15.000	7.697	0.3047	215.8319	– 11.5993	– 172.8834
4	20.000	8.990	0.2014	202.1185	6.2957	– 173.1576
5	20.000	8.990	0.2014	202.1185	– 32.8962	– 165.1576
6	22.500	9.434	0.1506	129.2639	– 24.4691	– 166.6147
7	30.000	10.000	0.0000	40.0000	0.8000	– 168.4000
8	30.000	10.000	0.0000	0.0000	0.8000	– 168.4000
9	37.500	9.434	– 0.1506	101.2639	26.0509	– 166.3747
10	45.000	7.697	– 0.3047	299.8319	13.1256	– 172.4034
11	52.500	4.651	– 0.4668	293.6996	– 12.8084	– 195.0260
12	54.000	3.863	– 0.4668	268.5993	– 16.7203	– 201.1080
13	54.000	3.863	– 0.5007	268.5993	– 32.5111	– 209.7480
14	60.000	0.000	– 0.6435	0.0000	– 40.7200	– 241.0400

назначены по два смежных сечения.

 Примечание:  в местах приложения сосредоточенных сил и момента автоматически

    Эпюры M, Q, N в арке представлены на рис. 2.66, в – д (мас-штабы ординат Q и N отличаются в 5 раз). Для сравнения на рис. 2.66, е, ж приведены эпюры усилий M₀ и Q₀ в балке со схемой по  рис. 2.66, б  ( в  десятикратно уменьшенном масштабе ординат ).

 

При построении эпюр нужно пользоваться правилами, изложенными на с. 19 – 21 и 105 ) и следить за соответствием изломов  на  эпюре М  приложенным сосредоточенным  нагрузкам  ( на  эпюрах Q и N в этих точках – разрывы ), на эпюре Q – границам участков нагрузок q; нулевых точек эпюры Q – экстремумам М ; в точке приложения внешнего момента – скачок на эпюре М.

Линии влияния силовых факторов в арке и их загружен ие     

       Линии влияния распора и усилий в сечении K строим как типовые ( см. с. 108 ). Характерные ординаты линий влияния:

= 15∙[1 – (15 + 30∙7,697/10)/60] = 5,4772 м;

= (15 – 30∙7,697/10) ∙30/60 = –4,0455 м;

= 0,9539 ∙ (1 – 15/60) –

    – 0,3 ∙30 ∙15/(10 ∙60) = 0,4904; = – 0,4635;

= 0,9539 ∙30/60 – 0,3 ∙30 ∙30/(10 ∙60) =

   = 0,0270;

= – [0,3 ∙ (1 – 15/60) +

      + 0,9539∙30 ∙15/(10 ∙60) = –0,9404; = – 0,6404;

= – [0,3 ∙ 30/60 +

    + 0,9539∙30 ∙30/(10 ∙60) = –1,5808.

 

Линии влияния, построенные по вычисленным ординатам, представлены на рис. 2.67.

Для контроля положения их нулевых точек можно использовать отрезки a_{K M}

и a_{K Q} ( рис. 2.67 ) – расстояния по горизонтали от левой опоры до моментных точек (см. с. 109) KM                     

и KQ:                                  

 

    = 23,628 м;

    = 30,872 м.

    

Указание: в случае расположения сечения K справа от вершины арки  расстояния a_{K M}  и a_{K Q}   следует отмерять   от   правой   опоры,  а  в

формулы для их определения подставлять  a вместо b,   l – x_K вместо x_K и брать tg q_K по абсолютной величине.    

    Для загружения линий влияния в дополнение к ординатам, обозначенным на рис. 2.67, вычисляем ординаты в точках приложения сосредоточенных нагрузок F₁ и F₁ и на левом краю правой нагрузки q, а также тангенсы углов наклона средних участков Л.В.: y_{H, F1} = 1;  y_{H, F2} = 0,3;  y_{H, q} = 1; tg a_H = 0,05;

y_{M K, F1} = 2,3031;  y_{M K, F2} = – 0,8091;  y_{M K, q} = – 2,6970; tg a_{M K} = – 0,6348;   

y_{Q K, F1} = 0,3359; y_{Q K, F2} = 0,0054; y_{Q K, q} = 0,0180; tg a_{Q K} = – 0,0309;  

y_{N K, F1} = – 1,1539; y_{N K, F2} = – 0,3162; y_{N K, q} = – 1,0538; tg a_{N K} = – 0,0427.  

    Загружаем линии влияния заданной нагрузкой ( см. ( 1.23 )):

Н = 40∙1+8∙0,75∙15/2 +(– 40)∙ 0,05 +8∙1∙20/2+18∙0,3 = 168,40 ( кН );

M_K = 40∙2,3031+8∙5,4772∙15/2 +(– 40)∙(– 0,6348) +8∙(– 2,6970)∙20/2+

+18∙(– 0,8091) = 215,82 ( кН∙м );

Q_K = 40∙0,3359+8∙(–0,4635)∙15/2 +(– 40)∙(– 0,0309) +8∙ 0,0180∙20/2+

+18∙ 0,0054 = – 11,60 ( кН );

N_K = 40∙(–1,1539) + 8∙(–0,6404)∙15/2 + (– 40)∙(– 0,0427) +

+ 8∙ (–1,0538)∙20/2 +18∙ (–0,3162) = – 172,87 ( кН ) – практически полное совпадение с ранее найденными значениями.

Матрица влияния силовых факторов в арке

     

Схема расчётных точек для формирования матрицы влияния

приведена на рис. 2.68, а. Под сечением K, где на Л.В. Q_K и N_K имеются разрывы, назначены две расчётные точки. Приведение заданных нагрузок к эквивалентным в расчётных точках показано на рис. 2.68, б.

F₍₁₎ = F₍₂₎ = q∙15/2 = 60; F₍₃₎ =   F₁ +

+ M/15 = 29,333;   F₍₄₎ = F₍₄₎₂ + F₍₄₎₃  =

= F₁ /3 – M/15 + q∙20/3 + F₂ /5 = 67,6; F₍₅₎ = q∙20/3 + F₂ = 49,956.   

 

 

60     60 Fu = 29,333     67,6   49,956

    Матрица влияния силовых факторов и вектор расчётных узловых нагрузок:

                         .

    Вектор искомых усилий S = [ H M_K Q_K N_K ] ^т находится матричной операцией S = L_S F_u = [ 168,40 215,82 –11,60 –172,87 ] ^т.

Формирование системы уравнений статики

на основе конечно-элементной модели арки

    Используем расчётную схему элементов и узлов арки, представленную на рис. 2.60, б,  задавая  a = b = 30 м;  y_C = 10 м;  y_B = 0; cos q₀ = 0,8 = cos q_l ; sin q₀ = 0,6 = sin q_l – знак q_l учтён в матрице A ( см. с. 107 ) , которая принимает вид

 

1

3

2

    Вычисляем компоненты вектора свободных членов B_F уравнений равновесия по шаблону, приведённому на с. 107: 

 

= – q ∙15∙7,5 – F₁∙20 + M  =  –1660; = – (q ∙15 + F₁) sin q₀ =  – 96;

= – (q ∙15 + F₁) cos q₀ = –128; = q ∙20∙10 + F₁∙6 =1708;

= – (q ∙20 + F₂) sin q_l = –106,8; = (q ∙20 + F₂) cos q_l = 142,4;

F_2x= F_2y = 0, тогда B_F = [–1660  –96 –128 1708 –106,8 142,4 0 0 0 0 0 0 ]^т.

    Решение системы A∙S + B_F = 0 даёт  S = [ 27,60 –231,20  0,80 –168,40 –40,72 –241,04 0,80 –168,40 160,80 168,40 177,20 168,40 ]^т – полное совпадение со значениями, полученными ранее.  

Ф а к у л ь т а т и в н о: