Решение типового задания 21-30
Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти: 1). площадь грани ; 2). объем пирамиды; 3). уравнения прямой ; 4). уравнение плоскости ; 5). уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ; 6). длину высоты ; 7). координаты точки пересечения высоты с плоскостью . Например, A1(3;5;4), A2(6;9;4), A3(0;7;2), A4(2;3;7). 1) Для нахождения площади грани воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения , равного площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Найдем векторное произведение
Тогда искомая площадь грани равна:
= (ед2).
2) Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл модуля смешанного произведения , равного объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах. Вычислим смешанное произведение векторов :
= = = 38.
Так как объем пирамиды составляет шестую часть объема соответствующего параллелепипеда, то
Vпир = = (ед3).
3) Чтобы найти уравнения прямой , используем уравнения прямой в пространстве, проходящей через две известные точки и .
Уравнения прямой принимают вид:
или .
4) Для получения уравнения грани используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки : . В нашей задаче: .
Определитель вычислим методом разложения по элементам первой строки. , раскрыв скобки, и приведя подобные, получаем – 8x + 6y + 18z – 78 = 0, сократив на (–2), искомое уравнение будет иметь вид 4x – 3y – 9z + 39 = 0.
5) Чтобы найти уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань , используем канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через известную точку А4 с направляющим вектором
.
Так как высота перпендикулярна грани , то в качестве направляющего вектора можно использовать нормальный вектор плоскости , координатами которого являются коэффициенты при в полученном уравнении грани : . Итак, уравнения высоты примут вид:
.
6) Для вычисления длины высоты примем формулу расстояния от точки до плоскости .
,
где – коэффициенты и свободный член из уравнения плоскости . Таким образом,
. Координаты точки пересечения высоты с плоскостью получаются как результат решения системы, составленной из уравнения грани и уравнений высоты . Запишем уравнения высоты в параметрической форме:
,
где t – параметр, тогда . Решая систему , найдем значение параметра t. Подставляя выражения в первое уравнение, получим
.
Искомые координаты точки пересечения:
; ; .
Решение задания типа 31-40 со следующим условием: Известны уравнения двух сторон ромба и и уравнение одной из его диагоналей . Найти уравнение второй диагонали. Сделать чертеж.
Решение. Пусть - уравнение стороны АВ. Так как прямые и имеют одинаковые нормальные векторы , следовательно, они параллельны. Поэтому - уравнение противоположной стороны DC. Одна из диагоналей, например, АС имеет уравнение . Вершина ромба A является точкой пересечения прямых АВ и АС, следовательно ее можно найти, решив систему уравнений: , откуда А(3;1). Вершину ромба С получим решением системы, составленной из уравнения прямых DC и АС: , откуда С(12;-2). Точка О пересечения диагоналей является серединой отрезка АС, поэтому ее координаты можно найти по формулам: . Таким образом . Так как диагонали ромба перпендикулярны, то угловой коэффициент искомой диагонали . Угловой коэффициент прямой АС , найдем из ее уравнения: , откуда . Следовательно, . Уравнение диагонали BD найдем, зная угловой коэффициент и точку , лежащую на ней: , т.е. или .
Ответ: .
Выполним чертеж:
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (620)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |