Решение заданий типа 111-120
Теоретический справочник. Дифференциальным уравнением I-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию и ее производную , т.е. уравнение вида или . Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция , , определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале , которая обращает данное уравнение в тождество, т.е. . Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего при конкретном значении произвольной постоянной с, которую можно определить из условия , называемое начальным условием. Чтобы решить дифференциальное уравнение I-го порядка, нужно определить его вид, найти его общее решение, а затем частное решение. Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения I порядка , удовлетворяющее начальному условию . Решение. Преобразуем исходное уравнение, разделив обе его части на : или . Затем разделим обе части уравнения на : . Разделив правую часть уравнения (и числитель, и знаменатель) на , получим однородное дифференциальное уравнение I порядка, т.к. оно имеет вид . Сделаем замену переменной: . Тогда исходное уравнение примет вид или или . Пользуясь свойством пропорции, соберем возле дифференциалов соответствующие переменные: и проинтегрируем полученное равенство: . Найдем интеграл, стоящий слева: = = = = = . Найдем интеграл, стоящий справа: . Следовательно, , или, возвращаясь к прежним переменным и обозначая , получим . Преобразуем последнее равенство, используя свойство логарифма , и получим общее решение . Подставив в последнее соотношение начальное условие , найдем конкретное значение произвольной постоянной: или . Тогда частное решение примет вид или . Ответ: Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения I порядка Решение. Разделим обе части уравнения на : или . Данное уравнение является линейным, т.к. имеет вид и решается заменой , где неизвестные функции; . Подставляя выражения для в исходное уравнение, получим . Сгруппируем слагаемые, содержащие функцию : . В качестве функции выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению или . Интегрируем последнее соотношение, разделяя переменные: или , , , . Тогда функция определится из уравнения . Подставляя найденную функцию , получим или или . Интегрируя последнее уравнение, найдем функцию : . Итак, общее решение имеет вид или . Подставляя начальные данные , получаем уравнение: откуда . Частное решение имеет вид .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (422)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |