Решения заданий типа 41-50
Теоретический справочник При вычислении пределов используются следующие свойства пределов: , где , т.е. предел постоянной равен самой постоянной.
, то
а) ;
б) ;
в) , если .
Из свойств 10 и следует, что
, где , т.е. постоянную можно выносить за знак предела.
Если , то .
Если , то .
.
Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство: , т.е. предел функции находят непосредственной подстановкой предельного значения аргумента. Из свойства следует, что предел суммы, произведения, частного двух функций равен, соответственно, сумме, произведению и частному пределов этих функций, если функции имеют конечные пределы (в случае частного предел знаменателя не равен нулю). Если , то приводит к неопределенности типа ; если , то приводит к неопределенности типа ; если , то приводит к неопределенности типа . Чтобы вычислить такие пределы, т.е. «раскрыть неопределенность», необходимо провести дополнительные преобразования. Пример 1. Вычислить предел . Числитель и знаменатель дроби являются многочленами и при стремятся к бесконечности и, следовательно, имеем неопределенность . Для раскрытия такой неопределенности вынесем в числителе и знаменателе .
= =
= =
= .
Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет меньшую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:
= .
Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет большую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:
= .
Пример 2. Вычислить . Определим, имеет ли место неопределенность. Для этого в выражение, стоящее под пределом подставим . Т.о. имеем неопределенность . Разложим на множители числитель: = , знаменатель: и подставим это в предел = = = .
Пример 3. Вычислить . = . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю: .
= . Если при раскрытии неопределенности , дробь содержит тригонометрические функции, то в этом случае используют первый замечательный предел: .
Пример 4. Вычислить . = . Преобразуем выражение = . Отдельно вычислим: = = = . Аналогично, = =
= = = . .
Следовательно, = = .
Пример 5. = =
= = =
= .
При раскрытии неопределенности используют второй замечательный предел: или .
Пример 6. Вычислить . Вычислим отдельно предел основания = = = = и предел показателя , получаем неопределенность . Преобразуем выражение в скобках к виду
, т.е. . Из второго замечательного предела следует, что , поэтому преобразуем показатель степени так, чтобы он содержал сомножитель Таким образом = . Тогда = = = = = = .
Пример 7. Вычислить . Выражение в скобках запишем в виде т.е. . Следовательно, показатель степени должен содержать сомножитель : = = = = . Для раскрытия неопределенностей типа или удобно использовать правило Лопиталя-Бернулли: , т.е. предел отношения функций в случае неопределенности или равен пределу отношения производных этих функций. Для применения правила Лопиталя-Бернулли необходимо научиться вычислять производные функций.
Пример 8. Вычислить . = .
Правило Лопиталя-Бернулли при вычислении предела можно применять несколько раз. Пример 9. Вычислить . = =
= = .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (514)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |