Действия над матрицами

Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров m n: , . Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.

I = {1, 2, ..., m}.

1. Опр.5 Матрицы А и В называются равными, если

,

т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Обозначается: А = В.

2. Опр. 6. Суммойматриц А и В называется матрица , элементы которой определяются по формулам:

т.e. элементы матрицы С равнысумме соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается: С = А + В.

3. Опр. 7.Произведением матрицы А на действительное число называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число .

Обозначается: .

Пусть теперь , , т.е. число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

4. Опр8. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица размера m n , элементы которой вычисляются по формуле:

,

т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»). Обозначается: .

Например, если то элементы матрицы будут равны:

,

таким образом

.

Произведение матриц не коммутативно (не перестановочно)!, т.е., вообще говоря, .

Опр. 9. если все-таки , то матрицы А и В называютсяперестановочными.

Опр.10. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, так как нетрудно убедиться, что .

Опр.11. Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только для квадратных матриц. Далее А – квадратная матрица порядка n.

Матрица называется обратной к матрице А, если

Поэтому матрицы А и называются взаимно обратными.

П.2.2. Определители.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n.

Опр. 12. Определителем или детерминантом n-го порядка матрицы А называется число

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов. (2.3)

Обозначения определителя: , det A, или в полной записи:

.

Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.

При n=2:

(2.4)

При n = 3.

(2.5)

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

Опр. 13. Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент).

Например:

если и т. д.

Опр. 14. (Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное