П.6.2. Взаимное расположение двух прямых
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде: Две прямые могут: 1) совпадать; 2) быть параллельными: ; 3) пересекаться в единственной точке: .
Как определить взаимное расположение двух прямых? Теорема 1. две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства Пример 10. Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают. Второй случай, когда прямые параллельны: Теорема 2. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но . Пример 11. В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных : Однако совершенно очевидно, что . Вывод: И третий случай, когда прямые пересекаются: Теорема 3. Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства Так, для прямых составим систему: Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны. Вывод: прямые пересекаются Пример 12. Выяснить взаимное расположение прямых: Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых: а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: . Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: б) Найдем направляющие векторы прямых : Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо. Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом . Выясним, справедливо ли равенство : Таким образом, в) Найдем направляющие векторы прямых : Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, можно и через коэффициенты самих уравнений: . Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому: Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число). Таким образом, прямые совпадают. Ответ: .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2902)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |