Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой. Пример 3. Примеры нахождения направляющих векторов прямых: Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично. Пример 4 Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору . Решение: Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее: Ответ:
Далее, перейдем к новому виду уравнения прямой – по двум точкам. Уравнение прямой по двум точкам. Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:
(координаты направляющего вектора: Примечание: точки можно «поменять ролями» и использовать формулу Пример 4. Составить уравнение прямой по двум точкам . Решение: Используем формулу: Считаем знаменатели: И методом пропорции решаем : Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6: Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума: Ответ:
Далее переходим к виду прямой 5 – по точке и вектору нормали. Нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы). Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой. Если координаты направляющего вектора приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять». Рассмотрим примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора: Пример 5.
5.Уравнение прямой по точке и вектору нормали. Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой: Пример 6. Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой. Решение: Используем формулу: Общее уравнение прямой получено: Ответ: На чертеже ситуация выглядит следующим образом: Далее рассмотрим уравнение прямой в отрезках: 1. Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить). Пример 7 Дана прямая . Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями. Решение: Приведём уравнение к виду . Сначала перенесём свободный член в правую часть: Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11: Таким образом, точки пересечения прямой с координатными осями: Ответ: Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках». И, наконец, последний нами рассматриваемый тип уравнения прямой: 7.Уравнение прямой в параметрической форме: Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой: Пример 8 Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору Решение:
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (11098)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |