Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»
Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так. Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу? На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела): Неопределённость Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись. Выделим существенные моменты формулы: 1) Речь идёттолько об определённости 2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел В данном случае Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел. Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры: Пример 18 Вычислить предел На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость Используем формулу Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель В данном случае: Таким образом: С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0. В результате: Готово. Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью Пример 19 Вычислить предел Сначала полное решение, потом комменты: (1)-(2) На первых двух шагах используем формулы (3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма. (4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость (6) Используем формулу (7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: (8) Без комментариев =) Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл. Пример 20 Вычислить предел Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки». Вернёмся к неопределённости Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания: В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решениймы без проблем свели данный пример к неопределённости Аналогичных пределов можно придумать очень много: Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: Пример 21 Найти пределы Как ни старайся, а неопределённость Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ. ! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель): Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же: Пример 22 Найти пределы Это короткие примеры для самостоятельного изучения Иногда неопределённости может не быть вообще: Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!
Пример 2 Пример 4 Пример 6 Пример 8 Пример 10 Пример 12 Пример 13 Пример 15 Пример 17 Пример 20 Пример 22
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ![]() ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (24306)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |